Aproxime a função f(x) = sen x por um polinômio de Taylor de grau 4 em a = pi / 6 e use esta informação para estimar sen(38 graus) com precisão de cinco casas decimais.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para aproximar a função usando um polinômio de Taylor de grau 4 ao redor de . Depois, vamos usar essa aproximação para estimar com precisão de cinco casas decimais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um polinômio de Taylor, como construir esse polinômio para a função seno e, por fim, aplicar a aproximação para encontrar o valor desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma maneira de aproximar uma função suave por meio de um polinômio, expandido em torno de um ponto específico . A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau para uma função em torno de é:
Como queremos um polinômio de grau 4, vamos calcular as derivadas de até a quarta ordem.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias de :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Agora, vamos construir o polinômio de Taylor usando os valores calculados:
Substituindo os valores:
Simplificando os coeficientes:

Passo 6

Agora, queremos estimar . Primeiro, vamos converter para radianos, já que trabalhamos com radianos no polinômio:
No entanto, nosso ponto de expansão é radianos. Vamos calcular a diferença :

Passo 7

Agora, vamos substituir no polinômio :
Vamos calcular cada termo separadamente:

Passo 8

Agora, somamos todos os termos calculados:

Resposta

A estimativa de usando o polinômio de Taylor de grau 4 em é aproximadamente 0,61564.

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