Aproxime a função
por um polinômio de Taylor de grau 4 em
e use esta informação para estimar
com precisão de cinco casas decimais.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para aproximar a função
usando um polinômio de Taylor de grau 4 ao redor de
. Depois, vamos usar essa aproximação para estimar
com precisão de cinco casas decimais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um polinômio de Taylor, como construir esse polinômio para a função seno e, por fim, aplicar a aproximação para encontrar o valor desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma maneira de aproximar uma função suave por meio de um polinômio, expandido em torno de um ponto específico
. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
para uma função
em torno de
é:
Como queremos um polinômio de grau 4, vamos calcular as derivadas de
até a quarta ordem.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias de
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Agora, vamos construir o polinômio de Taylor
usando os valores calculados:
Substituindo os valores:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Agora, queremos estimar
. Primeiro, vamos converter
para radianos, já que trabalhamos com radianos no polinômio:
No entanto, nosso ponto de expansão é
radianos. Vamos calcular a diferença
:
Passo 7
Agora, vamos substituir
no polinômio
:
Vamos calcular cada termo separadamente:
Passo 8
Agora, somamos todos os termos calculados:
Resposta
A estimativa de
usando o polinômio de Taylor de grau 4 em
é aproximadamente 0,61564.