Use séries para aproximar integral0^1 raiz1+x^4 d x com precisão de duas casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para aproximar a integral usando séries, com precisão de duas casas decimais. Vamos precisar entender de séries de potência, especialmente a expansão em série de Taylor, e como integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir raiz1 + t = 1 + 12t - 18t^2 + 116t^3 - dots em uma série. A função raiz1 + x^4 = 1 + 12x^4 - 18x^8 + 116x^12 - dots pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de :
Aqui, vamos substituir por :

Passo 3

Agora, queremos integrar essa série de integral0^1 raiz1 + x^4 , dx = integral0^1 (1 + 12x^4 - 18x^8 + 116x^12 - dots ) dx a = [ x + 12 cdot x^55 - 18 cdot x^99 + 116 cdot x^1313 - dots ]0^1 . A ideia é integrar termo a termo:
= 1 + 110 - 172 + 1208 - dots
Integrando cada termo individualmente:

Passo 4

Vamos calcular os termos até que o próximo termo seja menor que 0,005 (para garantir duas casas decimais de precisão):
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
  4. Quarto termo:
  5. Quinto termo:
Observamos que o quinto termo é menor que 0,005, então podemos parar por aqui.

Resposta

Aproximando a integral usando séries, obtemos o valor aproximadamente .

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