Use séries para aproximar
com precisão de duas casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para aproximar a integral
usando séries, com precisão de duas casas decimais. Vamos precisar entender de séries de potência, especialmente a expansão em série de Taylor, e como integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir
em uma série. A função
pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de
:
Aqui, vamos substituir
por
:
Passo 3
Agora, queremos integrar essa série de
a
. A ideia é integrar termo a termo:
Integrando cada termo individualmente:
Passo 4
Vamos calcular os termos até que o próximo termo seja menor que 0,005 (para garantir duas casas decimais de precisão):
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
- Quinto termo:
Observamos que o quinto termo é menor que 0,005, então podemos parar por aqui.
Resposta
Aproximando a integral
usando séries, obtemos o valor aproximadamente
.