Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo: sumn=1^infty n!n^n(x+3)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o intervalo máximo de convergência da série de potências . Isso está ligado ao estudo de séries de potência e como elas se comportam para diferentes valores de . Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta super útil para verificar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a nossa série de potências no formato padrão:
sumn=1^infty an (x - c)^n
Aqui, e . Nosso objetivo é encontrar para quais valores de essa série converge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência L = limn to infty | an+1an | da série. A regra é calcular o limite:
e então o raio de convergência é dado por .

Passo 4

Vamos calcular L = limn to infty | (n+1)!(n+1)^n+1n!n^n | = limn to infty (n+1) cdot n^n(n+1)^n+1 :
L = limn to infty (n+1)(n+1)^n+1 cdot n^n = limn to infty n^n(n+1)^n = limn to infty ( nn+1 )^n
Simplificando mais, temos:

Passo 5

Sabemos que:
limn to infty ( 1 - 1n+1 )^n = e^-1
Portanto, .

Passo 6

Agora, encontramos o raio de convergência:
R = 1L = e
Isso significa que a série converge quando:
|x + 3| < e

Resposta

O intervalo máximo de convergência da série é .

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