Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o intervalo máximo de convergência da série de potências . Isso está ligado ao estudo de séries de potência e como elas se comportam para diferentes valores de . Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta super útil para verificar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a nossa série de potências no formato padrão:
Aqui, e . Nosso objetivo é encontrar para quais valores de essa série converge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência da série. A regra é calcular o limite:
e então o raio de convergência é dado por .
Passo 4
Vamos calcular L = limn to infty | (n+1)!(n+1)^n+1n!n^n | = limn to infty (n+1) cdot n^n(n+1)^n+1 :
L = limn to infty (n+1)(n+1)^n+1 cdot n^n = limn to infty n^n(n+1)^n = limn to infty ( nn+1 )^n