Um aquecedor formado por um fio resistor longo e homogêneo ( 5 m ) de raio r1=0,4 cm e condutividade térmica k=15,5 W / m^circ C é usado para aquecer água em pressão atmosférica pela passagem de corrente elétrica. O calor é gerado uniformemente no fio como resultado do aquecimento devido à resistência, que é percorrida por uma corrente i sob uma ddp de 127 V . Sabendo que a temperatura da superfície externa do fio é de 93^circ C, determine a máxima corrente elétrica que percorre o fio para que a temperatura no centro do fio não ultrapasse 150^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um aquecedor feito de um fio resistor longo e homogêneo. A gente precisa calcular a máxima corrente elétrica que passa pelo fio para que a temperatura no centro dele não ultrapasse . Vamos usar conceitos de condução de calor e resistência elétrica para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Comprimento do fio,
  • Raio do fio,
  • Condutividade térmica,
  • Diferença de potencial (ddp),
  • Temperatura na superfície do fio,
  • Temperatura máxima no centro,

Passo 3

A ideia é relacionar a potência elétrica gerada pela passagem da corrente com a capacidade do fio de dissipar esse calor para não exceder a temperatura máxima no centro. Vamos começar calculando a potência máxima que o fio pode dissipar sem ultrapassar .

Passo 4

Para determinação da potência máxima, usamos a equação de condução de calor em estado estacionário para um cilindro:
De
Onde:
  • Q = 4k De
  • é a geração de calor por unidade de volume.
Rearranjando para encontrar :

Passo 5

Agora, vamos relacionar P = V cdot I com a potência elétrica P = Q cdot Volume = Q cdot pi r1^2 L . A potência elétrica gerada no fio é dada por:
V cdot I = 4k De
Mas também sabemos que:
V cdot I = 4k De
Igualando as duas expressões para :
Simplificando :

Passo 6

Queremos encontrar a corrente I = 4k De. Isolando na equação:

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores numéricos na fórmula:
I = 4 cdot 15,5 , W/m°C cdot 57 , °C cdot pi cdot 5 , m127 , V

Passo 8

Calculando passo a passo:
4 cdot 15,5 = 62
62 cdot 57 = 3534
3534 cdot pi approx 3534 cdot 3,1416 approx 11110,9
11110,9127 approx 87,5

Resposta

A máxima corrente elétrica que percorre o fio para que a temperatura no centro não ultrapasse é aproximadamente .

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