Um aquecedor formado por um fio resistor longo e homogêneo ( 5 m ) de raio
e condutividade térmica
é usado para aquecer água em pressão atmosférica pela passagem de corrente elétrica. O calor é gerado uniformemente no fio como resultado do aquecimento devido à resistência, que é percorrida por uma corrente i sob uma ddp de 127 V . Sabendo que a temperatura da superfície externa do fio é de
, determine a máxima corrente elétrica que percorre o fio para que a temperatura no centro do fio não ultrapasse
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um aquecedor feito de um fio resistor longo e homogêneo. A gente precisa calcular a máxima corrente elétrica que passa pelo fio para que a temperatura no centro dele não ultrapasse
. Vamos usar conceitos de condução de calor e resistência elétrica para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Comprimento do fio,
- Raio do fio,
- Condutividade térmica,
- Diferença de potencial (ddp),
- Temperatura na superfície do fio,
- Temperatura máxima no centro,
Passo 3
A ideia é relacionar a potência elétrica gerada pela passagem da corrente com a capacidade do fio de dissipar esse calor para não exceder a temperatura máxima no centro. Vamos começar calculando a potência máxima que o fio pode dissipar sem ultrapassar
.
Passo 4
Para determinação da potência máxima, usamos a equação de condução de calor em estado estacionário para um cilindro:
Onde:
-
-
é a geração de calor por unidade de volume.
Rearranjando para encontrar
:
Passo 5
Agora, vamos relacionar
com a potência elétrica
. A potência elétrica gerada no fio é dada por:
Mas também sabemos que:
Igualando as duas expressões para
:
Simplificando
:
Passo 6
Queremos encontrar a corrente
. Isolando
na equação:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores numéricos na fórmula:
Passo 8
Calculando passo a passo:
Resposta
A máxima corrente elétrica que percorre o fio para que a temperatura no centro não ultrapasse
é aproximadamente
.