Considere uma parede plana de espessura 50 cm , com geração de calor uniforme ( e=6,3 times 10^3 W / m^3 ) com temperaturas superficiais constantes e iguais a 450^circ C. Sabendo que a condutividade térmica é constante e igual a 3,1 W / mK, determine a equação de distribuição de temperatura na parede plana e o fluxo de calor em seu interior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a distribuição de temperatura dentro de uma parede plana de 50 cm de espessura que gera calor de maneira uniforme. Além disso, as temperaturas nas superfícies da parede são constantes e iguais a 450°C, e sabemos que a condutividade térmica da parede é 3,1 W/mK. Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e equações de equilíbrio térmico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a temperatura se distribui dentro da parede. Como a parede está gerando calor de forma uniforme, a temperatura não varia de maneira linear. A distribuição de temperatura será uma função quadrática. Para encontrar essa distribuição, usamos a equação da condução de calor com geração interna:
d^2 Tdx^2 = -ek
Onde:
  • é a temperatura,
  • é a posição dentro da parede,
  • é a taxa de geração de calor ( ),
  • é a condutividade térmica ( ).

Passo 3

Vamos integrar a equação diferencial para encontrar a distribuição de temperatura.
Primeira integração:
dTdx = -ek x + C1
Segunda integração:
T(x) = -e2k x^2 + C1 x + C2
Onde e são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

As condições de contorno são as temperaturas nas superfícies da parede:
T(0) = 450^circ C
T(L) = 450^circ C
Substituindo 450 = -e2k (0)^2 + C1 cdot 0 + C2 Rightarrow C2 = 450 na equação de 450 = -e2k (0,5)^2 + C1 cdot 0,5 + 450 :
0 = -e2k cdot 0,25 + 0,5 C1
Substituindo 0,5 C1 = e cdot 0,252k Rightarrow C1 = e cdot 0,25k :
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 5

Substituindo os valores de C1 = 6,3 times 10^3 cdot 0,253,1 approx 15753,1 approx 508,06 , C/m e T(x) = -6,3 times 10^32 cdot 3,1 x^2 + 508,06 x + 450 :
Agora, substituímos e na equação de :

Passo 6

Simplificando os coeficientes:
T(x) = -6,3 times 10^36,2 x^2 + 508,06 x + 450
T(x) approx -1016,13 x^2 + 508,06 x + 450
Esta é a equação que descreve como a temperatura varia ao longo da parede.

Passo 7

Agora, vamos determinar o fluxo de calor dentro da parede. O fluxo de calor q(x) = -k dTdx é dado por:
dTdx = -2 cdot 1016,13 x + 508,06
Calculando a derivada de dTdx = -2032,26 x + 508,06 :
q(x) = -3,1 cdot (-2032,26 x + 508,06)
q(x) = 3,1 cdot 2032,26 x - 3,1 cdot 508,06
Então, o fluxo de calor é:
q(x) approx 6302,01 x - 1574,99 , W/m^2

Resposta

A equação de distribuição de temperatura na parede é:
T(x) approx -1016,13,x^2 + 508,06,x + 450 , (°C)
E o fluxo de calor em seu interior é dado por:
q(x) approx 6302,01,x - 1574,99 , (W/m^2)

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