Considere uma parede plana de espessura 50 cm , com geração de calor uniforme (
) com temperaturas superficiais constantes e iguais a
. Sabendo que a condutividade térmica é constante e igual a
, determine a equação de distribuição de temperatura na parede plana e o fluxo de calor em seu interior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a distribuição de temperatura dentro de uma parede plana de 50 cm de espessura que gera calor de maneira uniforme. Além disso, as temperaturas nas superfícies da parede são constantes e iguais a 450°C, e sabemos que a condutividade térmica da parede é 3,1 W/mK. Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e equações de equilíbrio térmico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a temperatura se distribui dentro da parede. Como a parede está gerando calor de forma uniforme, a temperatura não varia de maneira linear. A distribuição de temperatura será uma função quadrática. Para encontrar essa distribuição, usamos a equação da condução de calor com geração interna:
Onde:
-
é a temperatura, -
é a posição dentro da parede, -
é a taxa de geração de calor ( ), -
é a condutividade térmica ( ).
Passo 3
Vamos integrar a equação diferencial para encontrar a distribuição de temperatura.
Primeira integração:
Segunda integração:
Onde
e
são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
As condições de contorno são as temperaturas nas superfícies da parede:
Substituindo
na equação de
:
Substituindo
:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Passo 5
Substituindo os valores de
e
:
Agora, substituímos
e
na equação de
:
Passo 6
Simplificando os coeficientes:
Esta é a equação que descreve como a temperatura varia ao longo da parede.
Passo 7
Agora, vamos determinar o fluxo de calor dentro da parede. O fluxo de calor
é dado por:
Calculando a derivada de
:
Então, o fluxo de calor é:
Resposta
A equação de distribuição de temperatura na parede é:
E o fluxo de calor em seu interior é dado por: