Considere uma parede plana de espessura 50 cm , com geração de calor uniforme ( ) com temperaturas superficiais constantes e iguais a . Sabendo que a condutividade térmica é constante e igual a , determine a equação de distribuição de temperatura na parede plana e o fluxo de calor em seu interior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a distribuição de temperatura dentro de uma parede plana de 50 cm de espessura que gera calor de maneira uniforme. Além disso, as temperaturas nas superfícies da parede são constantes e iguais a 450°C, e sabemos que a condutividade térmica da parede é 3,1 W/mK. Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e equações de equilíbrio térmico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a temperatura se distribui dentro da parede. Como a parede está gerando calor de forma uniforme, a temperatura não varia de maneira linear. A distribuição de temperatura será uma função quadrática. Para encontrar essa distribuição, usamos a equação da condução de calor com geração interna:
Onde:
  • é a temperatura,
  • é a posição dentro da parede,
  • é a taxa de geração de calor ( ),
  • é a condutividade térmica ( ).

Passo 3

Vamos integrar a equação diferencial para encontrar a distribuição de temperatura.
Primeira integração:
Segunda integração:
Onde e são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

As condições de contorno são as temperaturas nas superfícies da parede:
Substituindo na equação de :
Substituindo :
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 5

Substituindo os valores de e :
Agora, substituímos e na equação de :

Passo 6

Simplificando os coeficientes:
Esta é a equação que descreve como a temperatura varia ao longo da parede.

Passo 7

Agora, vamos determinar o fluxo de calor dentro da parede. O fluxo de calor é dado por:
Calculando a derivada de :
Então, o fluxo de calor é:

Resposta

A equação de distribuição de temperatura na parede é:
E o fluxo de calor em seu interior é dado por:

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