arctg(x) = 1 - x.

Passo 1

Vamos resolver a equação . Essa questão envolve trigonometria e álgebra. Para resolver, vamos precisar entender o que é a função arco-tangente e como encontrar os valores de que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a função arco-tangente, que retorna o ângulo cujo tangente é . Ou seja, se , então x. Essa função está definida para todos os números reais e seus valores estão entre e x.

Passo 3

Nossa equação é . Para resolver essa equação, precisamos encontrar o valor de que faz com que o valor da arco-tangente de x seja igual a x. Como essa equação envolve uma função transcendental (a arco-tangente) e uma função linear, não conseguimos isolar de forma algébrica. Portanto, vamos utilizar métodos numéricos para encontrar uma solução aproximada.

Passo 4

Vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. Primeiro, reescrevemos nossa equação na forma :
Em seguida, calculamos a derivada de :
f(x)

Passo 5

Escolhemos um valor inicial para x, digamos . Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Calculando f(0) e :
Então:

Passo 6

Agora, usamos para encontrar .
Calculando e :
Aplicando a fórmula:

Passo 7

Repetimos o processo com .
Calculando e :
Aplicando a fórmula:

Passo 8

Como a diferença entre e é muito pequena ( ), podemos considerar que convergimos para a solução com boa precisão.

Resposta

A solução da equação é aproximadamente .

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