f(x) = { sen(x) se x < pi/4, cos(x) se x ≥ pi/4 }.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função chamada que é definida de forma diferente dependendo do valor de . A gente está lidando com funções por partes, que é um tópico da matemática onde a função tem uma “peça” para cada intervalo do domínio. Aqui, a gente vai precisar entender como a função seno () e cosseno ( ) funcionam para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como está definida:
Isso significa que, para valores de menores que , a função é igual a . Para valores de maiores ou iguais a , passa a ser igual a .

Passo 3

Agora, vamos ver por que a gente usa funções por partes. Às vezes, uma função não pode ser descrita por uma única expressão matemática para todo o seu domínio. Então, a gente divide o domínio em intervalos e define uma expressão diferente para cada intervalo. No nosso caso, o ponto que divide os intervalos é .

Passo 4

Vamos calcular alguns valores para para entender melhor como ela se comporta. Por exemplo, vamos escolher , , e .
  • Para :
    • Como , usamos .
  • Para :
    • e , então .
    • Usamos .
  • Para :
    • e , então .
    • Usamos .

Passo 5

Também é interessante verificar o que acontece exatamente em , para garantir que a função está bem definida nesse ponto.
  • Para :
    • , então usamos .

Passo 6

Por fim, vamos pensar no gráfico da função. Para , o gráfico segue a curva da função seno, e para , ele segue a curva do cosseno. No ponto , as duas funções se encontram de forma que não há interrupção no gráfico.

Resposta

A função é definida por partes como seno para e por cosseno para . Por exemplo, , , e .

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f(x) = { e^x se x < 0, x^2 se x ≥ 0 }, a = 0.
Para que valores de x a função g é contínua?
g(x) = 0 se x é racional, x se x é irracionaléé
cos(x) = x^3.
arctg(x) = 1 - x.