A área entre duas funções pode ser determinada pela integração da diferença entre as duas funções ao longo do intervalo de interesse. Calcule a área delimitada entre as curvas y = 1 / x , y = x , y = x / 4 e x > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a área delimitada pelas curvas $ y = \frac{1}{x} $, $ y = x $, $ y = \frac{x}{4} $ e $ x > 0 $. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integração, para encontrar a área entre essas funções no intervalo onde elas se encontram.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas curvas se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção entre $ y = \frac{1}{x} $ e $ y = x $:
y = 1x
Então, elas se cruzam em $ x = 1 $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção entre $ y = \frac{1}{x} $ e $ y = \frac{x}{4} $:
y = 1x
Então, essa interseção ocorre em $ x = 2 $.

Passo 5

Com esses pontos de interseção, sabemos que vamos integrar de $ x = 1 $ até $ x = 2 $. Agora, precisamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo para saber qual subtrair de qual na hora de calcular a área.

Passo 6

Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo, $ x = 1.5 $:
x = 1.5
Percebemos que $ y = x $ está acima de $ y = \frac{1}{x} $ e $ y = \frac{1}{x} $ está acima de $ y = \frac{x}{4} $.

Passo 7

Isso significa que a área total entre $ y = x $ e $ y = \frac{1}{x} $ menos a área entre $ y = \frac{1}{x} $ e $ y = \frac{x}{4} $ vai nos dar a área delimitada pelas três curvas.

Passo 8

Vamos calcular a primeira área, entre $ y = x $ e $ y = \frac{1}{x} $:
y = x
Integrando:
y = 1x
A1 = integral1^2 ( x - 1x ) dx

Passo 9

Agora, vamos calcular a segunda área, entre $ y = \frac{1}{x} $ e $ y = \frac{x}{4} $:
y = 1x
Integrando:
y = x4
A2 = integral1^2 ( 1x - x4 ) dx

Passo 10

A área delimitada pelas três curvas é a diferença entre $ A_1 $ e $ A_2 $:
A1 Á
A2 Á

Resposta

A área delimita entre as curvas é $ \frac{15}{8} - 2\ln 2 $ unidades quadradas.

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