A área entre duas funções pode ser determinada pela integração da diferença entre as duas funções ao longo do intervalo de interesse. Calcule a área delimitada entre as curvas y = 1 / x , y = x , y = x / 4 e x > 0.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a área delimitada pelas curvas $ y = \frac{1}{x} $, $ y = x $, $ y = \frac{x}{4} $ e $ x > 0 $. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integração, para encontrar a área entre essas funções no intervalo onde elas se encontram.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas curvas se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção entre $ y = \frac{1}{x} $ e $ y = x $:
Então, elas se cruzam em $ x = 1 $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção entre $ y = \frac{1}{x} $ e $ y = \frac{x}{4} $:
Então, essa interseção ocorre em $ x = 2 $.
Passo 5
Com esses pontos de interseção, sabemos que vamos integrar de $ x = 1 $ até $ x = 2 $. Agora, precisamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo para saber qual subtrair de qual na hora de calcular a área.
Passo 6
Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo, $ x = 1.5 $:
Percebemos que $ y = x $ está acima de $ y = \frac{1}{x} $ e $ y = \frac{1}{x} $ está acima de $ y = \frac{x}{4} $.
Passo 7
Isso significa que a área total entre $ y = x $ e $ y = \frac{1}{x} $ menos a área entre $ y = \frac{1}{x} $ e $ y = \frac{x}{4} $ vai nos dar a área delimitada pelas três curvas.
Passo 8
Vamos calcular a primeira área, entre $ y = x $ e $ y = \frac{1}{x} $:
Integrando:
Passo 9
Agora, vamos calcular a segunda área, entre $ y = \frac{1}{x} $ e $ y = \frac{x}{4} $:
Integrando:
Passo 10
A área delimitada pelas três curvas é a diferença entre $ A_1 $ e $ A_2 $:
Resposta
A área delimita entre as curvas é $ \frac{15}{8} - 2\ln 2 $ unidades quadradas.