Determine o ponto simétrico de P = (4, −7, 4) em relação ao plano π : x − 3y + z − 3 = 0.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto simétrico de $ P = (4, -7, 4) $ em relação ao plano $ \pi : x - 3y + z - 3 = 0 $. Isso envolve geometria analítica, especificamente a reflexão de pontos em relação a planos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de simetria em planos e entender como calcular a distância de um ponto ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação do plano $ \pi $. A equação geral de um plano é dada por:
No nosso caso, comparando com $ x - 3y + z - 3 = 0 $, temos:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o ponto simétrico $ P’ $ de um ponto $ P(x_0, y_0, z_0) $ em relação a um plano $ ax + by + cz + d = 0 $:
onde:
Isso basicamente ajusta as coordenadas de $ P $ para refletir a distância e a direção em relação ao plano.
Passo 4
Vamos calcular $ D $ com os valores que temos:
Passo 5
Agora, aplicamos $ D $ na fórmula para encontrar $ P’ $:
Vamos calcular cada coordenada:
Para $ x’ $:
Para $ y’ $:
Para $ z’ $:
Resposta
O ponto simétrico de $ P = (4, -7, 4) $ em relação ao plano $ \pi : x - 3y + z - 3 = 0 $ é: