Escreva uma expressão equivalente a cada expressão dada, de forma que o denominador seja racional: √5÷3√2÷5√12÷7√0,2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a expressão dada de forma que o denominador seja um número racional. Aqui, estamos lidando com radiciação e racionalização de denominadores. Para isso, vamos usar algumas propriedades das raízes e multiplicar o numerador e o denominador por um número que vai eliminar a raiz do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão que temos:
raiz53raiz2 div 5raiz127raiz0,2
Dividir frações é o mesmo que multiplicar pela inversa. Então, podemos reescrever a expressão assim:
raiz53raiz2 times 7raiz0,25raiz12

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:
raiz5 times 7raiz0,23raiz2 times 5raiz12
Isso fica:
7raiz5 times 0,215raiz2 times 12

Passo 4

Vamos simplificar as raízes agora. Lembrando que raiza times b = raiza times raizb:
7raiz115raiz24
Porque 5 times 0,2 = 1 e 2 times 12 = 24.
Sabemos que raiz1 = 1, então a expressão fica:
715raiz24

Passo 5

O próximo passo é racionalizar o denominador, ou seja, eliminar a raiz do denominador. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pela raiz que está no denominador:
715raiz24 times raiz24raiz24 = 7raiz2415 times 24

Passo 6

Agora, vamos simplificar a fração. Primeiro, calculamos o denominador:
15 times 24 = 360
Então, a expressão fica:
7raiz24360
Podemos simplificar a raiz de 24. Sabemos que 24 = 4 times 6, e raiz4 = 2:
raiz24 = raiz4 times 6 = 2raiz6
Substituindo isso na expressão:
7 times 2raiz6360 = 14raiz6360

Passo 7

Finalmente, vamos simplificar a fração 14360. Dividindo numerador e denominador por 2:
7raiz6180

Resposta

A expressão equivalente com denominador racional é:
7raiz6180

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