Escreva uma expressão equivalente a cada expressão dada, de forma que o denominador seja racional: √5÷3√2÷5√12÷7√0,2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a expressão dada de forma que o denominador seja um número racional. Aqui, estamos lidando com radiciação e racionalização de denominadores. Para isso, vamos usar algumas propriedades das raízes e multiplicar o numerador e o denominador por um número que vai eliminar a raiz do denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão que temos:
Dividir frações é o mesmo que multiplicar pela inversa. Então, podemos reescrever a expressão assim:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:
Isso fica:
Passo 4
Vamos simplificar as raízes agora. Lembrando que
:
Porque
e
.
Sabemos que
, então a expressão fica:
Passo 5
O próximo passo é racionalizar o denominador, ou seja, eliminar a raiz do denominador. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pela raiz que está no denominador:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a fração. Primeiro, calculamos o denominador:
Então, a expressão fica:
Podemos simplificar a raiz de 24. Sabemos que
, e
:
Substituindo isso na expressão:
Passo 7
Finalmente, vamos simplificar a fração
. Dividindo numerador e denominador por 2:
Resposta
A expressão equivalente com denominador racional é: