Área
Nos exercícios 33-36, determine a área total da região entre a curva e o eixo
.
Nos exercícios 33-36, determine a área total da região entre a curva e o eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a área total entre a curva
e o eixo
no intervalo de
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais para determinar áreas entre curvas e eixos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde a curva intercepta o eixo
e depois calcular a integral adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a curva
cruza o eixo
. Isso acontece quando
. Então, resolvemos:
Podemos fatorar a equação:
Isso nos dá as soluções:
Então, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados por esses pontos:
-
De
a : Escolhemos um valor, por exemplo, : Porém, isso ficou positivo, mas na verdade, ao substituir corretamente:Parece que houve um erro no raciocínio inicial. Vamos reavaliar.Correção: Na verdade, para: Então, dea , a função está positiva. -
De
a : Escolhemos : Aqui, a função está negativa.
Passo 4
Agora, para encontrar a área total, precisamos calcular a integral da função, mas considerando o valor absoluto, já que a área não pode ser negativa. Então, dividimos em duas integrais:
Como vimos que de
a
a função é positiva e de
a
é negativa, podemos simplificar:
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente.
-
Integral de
a : Avaliando dea : -
Integral de
a : Avaliando dea : Como a área não pode ser negativa, pegamos o valor absoluto:.
Resposta
A área total da região entre a curva
e o eixo
no intervalo de
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Neste exercício, primeiro faça uma substituição conveniente e, na sequência, use integração por partes para calcular
b)
b)
Verifique, usando integração por partes:
a)
a)
Calcule
, onde
é a fronteira do triângulo de vértices
,
e
, orientada no sentido anti-horário.
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
d) ;
d)