Área
Nos exercícios 33-36, determine a área total da região entre a curva e o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a área total entre a curva e o eixo no intervalo de . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais para determinar áreas entre curvas e eixos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde a curva intercepta o eixo e depois calcular a integral adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a curva cruza o eixo . Isso acontece quando . Então, resolvemos:
Podemos fatorar a equação:
Isso nos dá as soluções:
Então, os pontos de interseção são , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados por esses pontos:
  1. De a : Escolhemos um valor, por exemplo, :
    Porém, isso ficou positivo, mas na verdade, ao substituir corretamente:
    Parece que houve um erro no raciocínio inicial. Vamos reavaliar.
    Correção: Na verdade, para :
    Então, de a , a função está positiva.
  2. De a : Escolhemos :
    Aqui, a função está negativa.

Passo 4

Agora, para encontrar a área total, precisamos calcular a integral da função, mas considerando o valor absoluto, já que a área não pode ser negativa. Então, dividimos em duas integrais:
Á
Como vimos que de a a função é positiva e de a é negativa, podemos simplificar:
Á

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. Integral de a :
    Avaliando de a :
  2. Integral de a :
    Avaliando de a :
    Como a área não pode ser negativa, pegamos o valor absoluto: .

Resposta

A área total da região entre a curva e o eixo no intervalo de é unidades de área.

Exercícios relacionados

Neste exercício, primeiro faça uma substituição conveniente e, na sequência, use integração por partes para calcular
b)
Verifique, usando integração por partes:
a)
Calcule , onde é a fronteira do triângulo de vértices , e , orientada no sentido anti-horário.
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
d) ;