Verifique, usando integração por partes:
a) integral sen^6 x d x=-16 sen^5 x cos x-524 sen^3 x cos x+58 integral sen^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar uma identidade envolvendo integrais usando integração por partes. O conteúdo principal aqui é Integração por Partes, que é uma técnica para resolver integrais de produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar partes da função que vamos chamar de e , e aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
No nosso caso, queremos verificar se:
integral sin^6 x , dx = -16 sin^5 x cos x - 524 sin^3 x cos x + 58 integral sin^2 x , dx
Vamos começar escolhendo e para aplicar a integração por partes.

Passo 3

Escolhemos:
u = sin^5 x e dv = sin x , dx
Agora, vamos calcular du = 5 sin^4 x cos x , dx e v = -cos x :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral sin^6 x , dx = integral sin^5 x cdot sin x , dx = u cdot v - integral v , du
= -sin^5 x cos x - integral (-cos x) cdot 5 sin^4 x cos x , dx
= -sin^5 x cos x + 5 integral sin^4 x cos^2 x , dx

Passo 5

Agora, observamos que 5 integral sin^4 x cos^2 x , dx = 5 integral sin^4 x (1 - sin^2 x) , dx . Vamos substituir isso na integral:
= 5 integral sin^4 x , dx - 5 integral sin^6 x , dx
I = -sin^5 x cos x + 5 integral sin^4 x , dx - 5I
Vamos chamar a integral original de , assim:

Passo 6

Vamos resolver para I + 5I = -sin^5 x cos x + 5 integral sin^4 x , dx :
6I = -sin^5 x cos x + 5 integral sin^4 x , dx
I = -16 sin^5 x cos x + 56 integral sin^4 x , dx

Passo 7

Agora, precisamos resolver sin^4 x = (sin^2 x)^2 = (1 - cos 2x2)^2 . Usando uma identidade trigonométrica:
= 1 - 2cos 2x + cos^2 2x4
integral sin^4 x , dx = 14 integral 1 , dx - 12 integral cos 2x , dx + 14 integral cos^2 2x , dx
Integrando termo a termo:
cos^2 2x = 1 + cos 4x2
Para integral cos^2 2x , dx = 12 integral 1 , dx + 12 integral cos 4x , dx = x2 + sin 4x8 , usamos outra identidade:
integral sin^4 x , dx = x4 - 12 cdot sin 2x2 + 14 ( x2 + sin 4x8 )
Então,
= x4 - sin 2x4 + x8 + sin 4x32
Voltando:
= 3x8 - sin 2x4 + sin 4x32

Passo 8

Voltando à expressão para I = -16 sin^5 x cos x + 56 ( 3x8 - sin 2x4 + sin 4x32 ) :
= -16 sin^5 x cos x + 15x48 - 5 sin 2x24 + 5 sin 4x192
= -16 sin^5 x cos x + 5x16 - 5 sin 2x24 + 5 sin 4x192
Simplificando as frações:

Resposta

A identidade foi verificada usando integração por partes, e a integral de integral sin^6 x , dx = -16 sin^5 x cos x - 524 sin^3 x cos x + 58 integral sin^2 x , dx é:

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