Verifique, usando integração por partes:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar uma identidade envolvendo integrais usando integração por partes. O conteúdo principal aqui é Integração por Partes, que é uma técnica para resolver integrais de produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar partes da função que vamos chamar de
e
, e aplicar a fórmula da integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes:
No nosso caso, queremos verificar se:
Vamos começar escolhendo
e
para aplicar a integração por partes.
Passo 3
Escolhemos:
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 5
Agora, observamos que
. Vamos substituir isso na integral:
Vamos chamar a integral original de
, assim:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Passo 7
Agora, precisamos resolver
. Usando uma identidade trigonométrica:
Integrando termo a termo:
Para
, usamos outra identidade:
Então,
Voltando:
Passo 8
Voltando à expressão para
:
Simplificando as frações:
Resposta
A identidade foi verificada usando integração por partes, e a integral de
é:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
b)
b)
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
,
é a região triangular fechada fechada com vértices
e
.
Neste exercício, primeiro faça uma substituição conveniente e, na sequência, use integração por partes para calcular
b)
b)
Área
Nos exercícios 33-36, determine a área total da região entre a curva e o eixo .
Nos exercícios 33-36, determine a área total da região entre a curva e o eixo