Verifique, usando integração por partes:
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar uma identidade envolvendo integrais usando integração por partes. O conteúdo principal aqui é Integração por Partes, que é uma técnica para resolver integrais de produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar partes da função que vamos chamar de e , e aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes:
No nosso caso, queremos verificar se:
Vamos começar escolhendo e para aplicar a integração por partes.

Passo 3

Escolhemos:
Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 5

Agora, observamos que . Vamos substituir isso na integral:
Vamos chamar a integral original de , assim:

Passo 6

Vamos resolver para :

Passo 7

Agora, precisamos resolver . Usando uma identidade trigonométrica:
Integrando termo a termo:
Para , usamos outra identidade:
Então,
Voltando:

Passo 8

Voltando à expressão para :
Simplificando as frações:

Resposta

A identidade foi verificada usando integração por partes, e a integral de é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
b)
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de no conjunto . , é a região triangular fechada fechada com vértices e .
Neste exercício, primeiro faça uma substituição conveniente e, na sequência, use integração por partes para calcular
b)
Área
Nos exercícios 33-36, determine a área total da região entre a curva e o eixo .