Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
d)
;
d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem um campo vetorial
. A missão aqui é descobrir se esse campo é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja,
. Uma das maneiras de verificar se um campo é conservativo é calculando o rotacional (ou curl) do campo. Se o rotacional for zero em todas as direções, então o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Passo 4
Como todas as componentes do rotacional de
são zero, concluímos que o campo é conservativo. Agora, vamos encontrar uma função potencial
tal que
, ou seja:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
e
. Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda equação:
Isso implica que:
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à terceira equação:
Isso implica que:
Podemos ignorar a constante, já que estamos buscando uma função potencial.
Resposta
A função potencial é:
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a fronteira do triângulo de vértices
,
e
, orientada no sentido anti-horário.
Área
Nos exercícios 33-36, determine a área total da região entre a curva e o eixo .
Nos exercícios 33-36, determine a área total da região entre a curva e o eixo
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
f)
f)
Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
e
.