Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
d) ;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem um campo vetorial . A missão aqui é descobrir se esse campo é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, . Uma das maneiras de verificar se um campo é conservativo é calculando o rotacional (ou curl) do campo. Se o rotacional for zero em todas as direções, então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . O rotacional de é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Passo 4

Como todas as componentes do rotacional de são zero, concluímos que o campo é conservativo. Agora, vamos encontrar uma função potencial tal que , ou seja:
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de e . Agora, vamos derivar em relação a e igualar à segunda equação:
Isso implica que:
Agora, vamos derivar em relação a e igualar à terceira equação:
Isso implica que:
Podemos ignorar a constante, já que estamos buscando uma função potencial.

Resposta

A função potencial é:

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