Neste exercício, primeiro faça uma substituição conveniente e, na sequência, use integração por partes para calcular
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de de até . Esse problema envolve integração por partes e uma substituição conveniente. Para resolver, vamos precisar entender como fazer essas substituições e aplicar a técnica de integração por partes corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Vamos substituir na integral. Substituindo e , a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral usando integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
  • (simplesmente )
Então, calculamos e :

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 7

Voltando à nossa integral original:

Passo 8

Agora, precisamos reverter a substituição que fizemos inicialmente, lembrando que :

Passo 9

Finalmente, vamos aplicar os limites de integração de a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :

Resposta

Substituindo os limites, a integral vale:
Então, a resposta final é:

Exercícios relacionados

Verifique, usando integração por partes:
a)
Calcule as seguintes integrais:
b)
Área
Nos exercícios 33-36, determine a área total da região entre a curva e o eixo .
Calcule , onde é a fronteira do triângulo de vértices , e , orientada no sentido anti-horário.