Neste exercício, primeiro faça uma substituição conveniente e, na sequência, use integração por partes para calcular
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de
de
até
. Esse problema envolve integração por partes e uma substituição conveniente. Para resolver, vamos precisar entender como fazer essas substituições e aplicar a técnica de integração por partes corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos substituir
na integral. Substituindo
e
, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
usando integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
-
(simplesmente ) -
Então, calculamos
e
:
Passo 6
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Passo 8
Agora, precisamos reverter a substituição que fizemos inicialmente, lembrando que
:
Passo 9
Finalmente, vamos aplicar os limites de integração de
a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Resposta
Substituindo os limites, a integral vale:
Então, a resposta final é:
Exercícios relacionados
Verifique, usando integração por partes:
a)
a)
Calcule as seguintes integrais:
b)
b)
Área
Nos exercícios 33-36, determine a área total da região entre a curva e o eixo .
Nos exercícios 33-36, determine a área total da região entre a curva e o eixo
Calcule
, onde
é a fronteira do triângulo de vértices
,
e
, orientada no sentido anti-horário.