Neste exercício, primeiro faça uma substituição conveniente e, na sequência, use integração por partes para calcular
b) integral0^pi / 2 e^2 cos x sen 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de de até . Esse problema envolve integração por partes e uma substituição conveniente. Para resolver, vamos precisar entender como fazer essas substituições e aplicar a técnica de integração por partes corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão integral0^pi2 e^2 cos x cdot 2 sin x cos x , dx . Sabemos que . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = cos x
Então, a derivada de du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx em relação a é:

Passo 4

Vamos substituir 2 integral e^2u cdot u cdot (-du) = -2 integral u e^2u , du na integral. Substituindo e , a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du usando integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
du = du
Vamos escolher:
  • v = 12 e^2u (simplesmente )
Então, calculamos e :

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u e^2u , du = u cdot 12 e^2u - integral 12 e^2u , du
= u e^2u2 - 14 e^2u + C

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
-2 integral u e^2u , du = -2 ( u e^2u2 - 14 e^2u ) + C
= -u e^2u + 12 e^2u + C

Passo 8

Agora, precisamos reverter a substituição que fizemos inicialmente, lembrando que - cos x cdot e^2 cos x + 12 e^2 cos x + C :
= e^2 cos x ( 12 - cos x ) + C

Passo 9

Finalmente, vamos aplicar os limites de integração de [ e^2 cos x ( 12 - cos x ) ]0^pi2 a cos(pi2) = 0 :
e^2 cdot 0 ( 12 - 0 ) = 1 cdot 12 = 12
Calculando nos limites:
Para cos(0) = 1 :
e^2 cdot 1 ( 12 - 1 ) = e^2 cdot ( -12 ) = -e^22
Para :

Resposta

Substituindo os limites, a integral vale:
12 - ( -e^22 ) = 12 + e^22 = 1 + e^22
Então, a resposta final é:
1 + e^22

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