A área da região compreendida entre o gráfico da função f(x)=||x-4|-2|, o eixo das abscissas e as retas x=0 e x=6 é igual a (em unidades de área)
A)2.
B)4.
C)6.
D)10.
E)12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício onde precisamos encontrar a área da região delimitada pelo gráfico da função $ f(x) = ||x - 4| - 2| $, o eixo das abscissas (que é o eixo x) e as retas verticais $ x = 0 $ e $ x = 6 $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria e análise de funções para traçar o gráfico da função e calcular a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ f(x) = ||x - 4| - 2| $. Essa função envolve módulos (valores absolutos), o que significa que ela pode ter diferentes expressões dependendo do valor de $ x $. Vamos simplificar passo a passo.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão interna $ |x - 4| $:
  • Se $ x \geq 4 $, então $ |x - 4| = x - 4 $.
  • Se $ x < 4 $, então $ |x - 4| = 4 - x $.
Agora, substituímos essas expressões na função original:
Para $ x \geq 4 $:
|x - 4|
Para $ x < 4 $:
x >= 4

Passo 4

Agora, vamos simplificar ainda mais cada caso:
Para $ x \geq 6 $:
x >= 6
Para $ 4 \leq x < 6 $:
f(x) = x - 6
Para $ 2 \leq x < 4 $:
4 <= x < 6
Para $ x < 2 $:
f(x) = 6 - x

Passo 5

Agora que temos a expressão da função em diferentes intervalos, vamos traçar o gráfico para visualizar a área que precisamos calcular entre $ x = 0 $ e $ x = 6 $.
  • De $ x = 0 $ a $ x = 2 $: $ f(x) = 2 - x $ (uma reta decrescente).
  • De $ x = 2 $ a $ x = 4 $: $ f(x) = x - 2 $ (uma reta crescente).
  • De $ x = 4 $ a $ x = 6 $: $ f(x) = 6 - x $ (uma reta decrescente).

Passo 6

Observando o gráfico, percebemos que a área entre $ x = 0 $ e $ x = 6 $ é formada por dois triângulos e um retângulo no meio. Vamos calcular a área de cada uma dessas partes:
  1. Primeiro Triângulo (de $ x = 0 $ a $ x = 2 $):
    • Base: 2 unidades
    • Altura: 2 unidades
    x = 0 Á
  2. Retângulo (de $ x = 2 $ a $ x = 4 $):
    • Base: 2 unidades
    • Altura: 2 unidades
    x = 6 Á
  3. Segundo Triângulo (de $ x = 4 $ a $ x = 6 $):
    • Base: 2 unidades
    • Altura: 2 unidades
    x = 0 Á

Passo 7

Agora, somamos as áreas das três partes:
Área Total = 2 + 4 + 2 = 8 Á

Passo 8

No entanto, percebemos que houve um erro na análise inicial das áreas. Devemos reconsiderar os limites dos triângulos e do retângulo:
  1. Primeiro Triângulo (de $ x = 0 $ a $ x = 2 $):
    x = 0 Á
  2. Segundo Triângulo (de $ x = 2 $ a $ x = 4 $):
    x = 2 Á
  3. Terceiro Triângulo (de $ x = 4 $ a $ x = 6 $):
    Área = 2 Á
Assim, somando novamente:
x = 2 Á

Resposta

A área da região é igual a 6 unidades de área. Portanto, a resposta correta é a opção C) 6.

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