A área da região compreendida entre o gráfico da função f(x)=||x-4|-2|, o eixo das abscissas e as retas x=0 e x=6 é igual a (em unidades de área)
A)2.
B)4.
C)6.
D)10.
E)12.
A)2.
B)4.
C)6.
D)10.
E)12.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício onde precisamos encontrar a área da região delimitada pelo gráfico da função $ f(x) = ||x - 4| - 2| $, o eixo das abscissas (que é o eixo x) e as retas verticais $ x = 0 $ e $ x = 6 $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria e análise de funções para traçar o gráfico da função e calcular a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) = ||x - 4| - 2| $. Essa função envolve módulos (valores absolutos), o que significa que ela pode ter diferentes expressões dependendo do valor de $ x $. Vamos simplificar passo a passo.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão interna $ |x - 4| $:
- Se $ x \geq 4 $, então $ |x - 4| = x - 4 $.
- Se $ x < 4 $, então $ |x - 4| = 4 - x $.
Agora, substituímos essas expressões na função original:
Para $ x \geq 4 $:
Para $ x < 4 $:
Passo 4
Agora, vamos simplificar ainda mais cada caso:
Para $ x \geq 6 $:
Para $ 4 \leq x < 6 $:
Para $ 2 \leq x < 4 $:
Para $ x < 2 $:
Passo 5
Agora que temos a expressão da função em diferentes intervalos, vamos traçar o gráfico para visualizar a área que precisamos calcular entre $ x = 0 $ e $ x = 6 $.
- De $ x = 0 $ a $ x = 2 $: $ f(x) = 2 - x $ (uma reta decrescente).
- De $ x = 2 $ a $ x = 4 $: $ f(x) = x - 2 $ (uma reta crescente).
- De $ x = 4 $ a $ x = 6 $: $ f(x) = 6 - x $ (uma reta decrescente).
Passo 6
Observando o gráfico, percebemos que a área entre $ x = 0 $ e $ x = 6 $ é formada por dois triângulos e um retângulo no meio. Vamos calcular a área de cada uma dessas partes:
-
Primeiro Triângulo (de $ x = 0 $ a $ x = 2 $):
- Base: 2 unidades
- Altura: 2 unidades
-
Retângulo (de $ x = 2 $ a $ x = 4 $):
- Base: 2 unidades
- Altura: 2 unidades
-
Segundo Triângulo (de $ x = 4 $ a $ x = 6 $):
- Base: 2 unidades
- Altura: 2 unidades
Passo 7
Agora, somamos as áreas das três partes:
Passo 8
No entanto, percebemos que houve um erro na análise inicial das áreas. Devemos reconsiderar os limites dos triângulos e do retângulo:
-
Primeiro Triângulo (de $ x = 0 $ a $ x = 2 $):
-
Segundo Triângulo (de $ x = 2 $ a $ x = 4 $):
-
Terceiro Triângulo (de $ x = 4 $ a $ x = 6 $):
Assim, somando novamente:
Resposta
A área da região é igual a 6 unidades de área. Portanto, a resposta correta é a opção C) 6.