A área de uma região D vem dada por
A(D)=integral0^pi / 2 integral1^1+cos theta r d r d theta
Identifique a região e calcule o valor da área.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para a gente identificar a região A(D) = integral0^pi / 2 integral1^1+cos theta r , dr , dtheta definida pela integral dupla
e calcular a área dessa região. Vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas polares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa integral representa. Em coordenadas polares, a área A = integralalpha^beta integralrmin^rmax r , dr , dtheta de uma região é dada por
onde varia de a e varia de a . Aqui, é a distância do ponto à origem e é o ângulo.

Passo 3

No nosso caso, varia de a (ou 90 graus), o que significa que estamos falando do primeiro quadrante do plano polar. Já varia de a . Isso define uma região que começa a uma distância de 1 da origem e se estende até .

Passo 4

Para identificar melhor a região , vamos esboçar as curvas e no primeiro quadrante:
  • é um círculo de raio 1 centrado na origem.
  • é uma cardioide deslocada no plano polar.
A região é a área entre essas duas curvas, do ângulo a .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral para encontrar a área. Primeiro, integramos em relação a integral1^1+cos theta r , dr = [ r^22 ]1^1+cos theta = (1+cos theta)^22 - 12 :
(1 + 2cos theta + cos^2 theta) - 12 = 2cos theta + cos^2 theta2 = cos theta + cos^2 theta2
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos em relação a A(D) = integral0^pi2 ( cos theta + cos^2 theta2 ) dtheta :
A(D) = integral0^pi2 cos theta , dtheta + 12 integral0^pi2 cos^2 theta , dtheta
Vamos separar as integrais:

Passo 7

Calculando a primeira integral:
integral0^pi2 cos theta , dtheta = [ sin theta ]0^pi2 = sin ( pi2 ) - sin(0) = 1 - 0 = 1
Para a segunda integral, usamos a identidade 12 integral0^pi2 1 + cos 2theta2 , dtheta = 14 integral0^pi2 (1 + cos 2theta) , dtheta :
14 [ theta + sin 2theta2 ]0^pi2 = 14 ( pi2 + 0 - 0 - 0 ) = pi8
Integrando:

Passo 8

Somando as duas partes:
A(D) = 1 + pi8

Resposta

A área da região é unidades de área.

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