A área de uma região
vem dada por
Identifique a região e calcule o valor da área.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente identificar a região
definida pela integral dupla
e calcular a área dessa região. Vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas polares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa integral representa. Em coordenadas polares, a área
de uma região é dada por
onde
varia de
a
e
varia de
a
. Aqui,
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo.
Passo 3
No nosso caso,
varia de
a
(ou 90 graus), o que significa que estamos falando do primeiro quadrante do plano polar. Já
varia de
a
. Isso define uma região que começa a uma distância de 1 da origem e se estende até
.
Passo 4
Para identificar melhor a região
, vamos esboçar as curvas
e
no primeiro quadrante:
-
é um círculo de raio 1 centrado na origem. -
é uma cardioide deslocada no plano polar.
A região
é a área entre essas duas curvas, do ângulo
a
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral para encontrar a área. Primeiro, integramos em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Vamos separar as integrais:
Passo 7
Calculando a primeira integral:
Para a segunda integral, usamos a identidade
:
Integrando:
Passo 8
Somando as duas partes:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.