Use coordenadas polares e calcule a integral dupla
integral duplaD raizx^2+y^2 d x d y
sobre a região D do plano x y delimitada pelas curvas y=raiz2 x-x^2 e y=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular
integral duplaD raizx^2+y^2 , dx , dy
onde a região é delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos precisar entender como transformar essa integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, integral duplaD r cdot r , dr , dtheta = integral duplaD r^2 , dr , dtheta e . A expressão simplifica para . Além disso, o elemento de área vira . Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para x = raiz2x - x^2 x^2 = 2x - x^2 2x^2 - 2x = 0 2x(x - 1) = 0 x = 0 ou x = 1 e . Vamos primeiro encontrar onde as duas curvas se intersectam para identificar os ângulos limites.
Igualando e :
Então, as curvas se intersectam em e . Correspondendo a e .

Passo 4

Para cada ângulo r^2sin^2theta = 2rcostheta - r^2cos^2theta r^2(sin^2theta + cos^2theta) - 2rcostheta = 0 r^2 - 2rcostheta = 0 r(r - 2costheta) = 0 r = 0 ou r = 2costheta , o raio começa na curva e vai até . Em coordenadas polares, essas curvas se transformam em:
Resolvendo para :
Então, varia de 0 a .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral com os limites encontrados:
integral0^pi4 integral0^2costheta r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a integral0^2costheta r^2 , dr = [ r^33 ]0^2costheta = (2costheta)^33 = 8cos^3theta3 :

Passo 7

Agora, substituímos na integral externa:
integral0^pi4 8cos^3theta3 , dtheta = 83 integral0^pi4 cos^3theta , dtheta

Passo 8

Para resolver integral cos^3theta , dtheta = integral costheta (1 - sin^2theta) , dtheta = integral (1 - u^2) , du = u - u^33 + C = sintheta - sin^3theta3 + C , usamos a identidade e fazemos a substituição , :

Passo 9

Aplicando os limites de sin(pi4) - sin^3(pi4)3 - ( sin(0) - sin^3(0)3 ) = raiz22 - (raiz22)^33 = raiz22 - raiz212 = 5raiz212 a :

Passo 10

Multiplicando pelo fator 83 cdot 5raiz212 = 40raiz236 = 10raiz29 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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