Use coordenadas polares e calcule a integral dupla
sobre a região
do plano
delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular
onde a região
é delimitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos precisar entender como transformar essa integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares,
e
. A expressão
simplifica para
. Além disso, o elemento de área
vira
. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Vamos primeiro encontrar onde as duas curvas se intersectam para identificar os ângulos limites.
Igualando
e
:
Então, as curvas se intersectam em
e
. Correspondendo a
e
.
Passo 4
Para cada ângulo
, o raio
começa na curva
e vai até
. Em coordenadas polares, essas curvas se transformam em:
-
→ → -
→
Resolvendo para
:
Então,
varia de 0 a
.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral com os limites encontrados:
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 8
Para resolver
, usamos a identidade
e fazemos a substituição
,
:
Passo 9
Aplicando os limites de
a
:
Passo 10
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.