Qual é a área da superfície dada pela equação ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando qual é a área da superfície definida pela equação . Isso está ligado ao cálculo de área de superfícies na matemática, mais especificamente no cálculo integral multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a área de uma superfície parametrizada por duas variáveis, e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área de uma superfície sobre uma região no plano , usamos a seguinte fórmula:
Á
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Essa fórmula basicamente soma as “pequenas partes” de área sobre a região .

Passo 3

Para aplicar essa fórmula, precisamos seguir alguns passos:
  1. Encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
  2. Calcular a expressão dentro da raiz quadrada: .
  3. Integrar essa expressão sobre a região no plano .
Vamos supor que a região seja conhecida e que as derivadas possam ser calculadas sem problemas.

Passo 4

Vamos dar um exemplo para fixar. Imagine que , e queremos encontrar a área da superfície sobre a região onde e variam de 0 a 1.
  1. Derivadas parciais:
  2. Expressão dentro da raiz:
  3. Integral dupla: Á
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, mas é o procedimento básico para encontrar a área da superfície.

Resposta

Então, a área da superfície definida por sobre uma região no plano é dada por:
Á

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