Qual é a área da superfície dada pela equação
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando qual é a área da superfície definida pela equação
. Isso está ligado ao cálculo de área de superfícies na matemática, mais especificamente no cálculo integral multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a área de uma superfície parametrizada por duas variáveis,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área de uma superfície
sobre uma região
no plano
, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Essa fórmula basicamente soma as “pequenas partes” de área sobre a região
.
Passo 3
Para aplicar essa fórmula, precisamos seguir alguns passos:
- Encontrar as derivadas parciais de
em relação a e . - Calcular a expressão dentro da raiz quadrada:
. - Integrar essa expressão sobre a região
no plano .
Vamos supor que a região
seja conhecida e que as derivadas possam ser calculadas sem problemas.
Passo 4
Vamos dar um exemplo para fixar. Imagine que
, e queremos encontrar a área da superfície sobre a região
onde
e
variam de 0 a 1.
- Derivadas parciais:
- Expressão dentro da raiz:
- Integral dupla:
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, mas é o procedimento básico para encontrar a área da superfície.
Resposta
Então, a área da superfície definida por
sobre uma região
no plano
é dada por:
Exercícios relacionados
O que significa dizer que
é independente do caminho?
Escreva as definições das integrais de linha sobre
de uma função escalar
com relação a
e
.
Calcule os seguintes valores:
sen . Dica: para os dois últimos itens, use a fórmula do seno (ou do cosseno) de soma/diferença.
sen
Ache a soma da série