Escreva as definições das integrais de linha sobre
de uma função escalar
com relação a
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para escrever as definições das integrais de linha de uma função escalar
ao longo de uma curva
, em relação a
,
e
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva
e como aplicar as integrais em cada uma das direções
,
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Isso significa expressar as coordenadas
,
e
em função de um parâmetro
, que geralmente varia de
a
. Então, temos:
Aqui,
representa um ponto na curva
à medida que
varia.
Passo 3
Agora, vamos definir a integral de linha de
em relação a
. Essa integral basicamente acumula os valores de
multiplicados pelas variações em
ao longo da curva. Matemáticamente, fica assim:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, que representa a taxa de variação de
ao longo da curva.
Passo 4
De forma similar, a integral de linha em relação a
acumula os valores de
multiplicados pelas variações em
. A definição fica assim:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, representando a taxa de variação de
ao longo da curva.
Passo 5
Por fim, a integral de linha em relação a
acumula os valores de
multiplicados pelas variações em
. A definição é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, que representa a taxa de variação de
ao longo da curva.
Resposta
As definições das integrais de linha de uma função escalar
sobre uma curva
, parametrizada por
para
, são: