Escreva as definições das integrais de linha sobre de uma função escalar com relação a e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para escrever as definições das integrais de linha de uma função escalar ao longo de uma curva , em relação a , e . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como aplicar as integrais em cada uma das direções , e .

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Isso significa expressar as coordenadas , e em função de um parâmetro , que geralmente varia de a . Então, temos:
Aqui, representa um ponto na curva à medida que varia.

Passo 3

Agora, vamos definir a integral de linha de em relação a . Essa integral basicamente acumula os valores de multiplicados pelas variações em ao longo da curva. Matemáticamente, fica assim:
Aqui, é a derivada de em relação a , que representa a taxa de variação de ao longo da curva.

Passo 4

De forma similar, a integral de linha em relação a acumula os valores de multiplicados pelas variações em . A definição fica assim:
Aqui, é a derivada de em relação a , representando a taxa de variação de ao longo da curva.

Passo 5

Por fim, a integral de linha em relação a acumula os valores de multiplicados pelas variações em . A definição é:
Aqui, é a derivada de em relação a , que representa a taxa de variação de ao longo da curva.

Resposta

As definições das integrais de linha de uma função escalar sobre uma curva , parametrizada por para , são:

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