Ache a soma da série
sumn=0^infty(-1)^n pi^2 n4^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Vamos resolver a soma da série infinita . Essa questão está relacionada ao estudo de séries infinitas e séries de Taylor, que nos ajudam a representar funções como somas de termos infinitos. Para resolver, vamos precisar entender a expansão em série da função seno e ajustar os termos para se encaixarem na série dada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de forma mais simples. Observe que sumn=0^infty(-1)^n pi^2 n4^2 n+1(2 n+1)! = 14 sumn=0^infty (-1)^n (pi^2/16)^n(2n+1)! , então podemos fatorar fora da soma:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série de Taylor para a função seno:
sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Dividindo ambos os lados por sin(x)x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n+1)! , temos:

Passo 4

Comparando com a nossa série, percebemos que ela se assemelha à expressão acima se escolhermos sin(pi/4)pi/4 = sumn=0^infty (-1)^n (pi/4)^2n(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n pi^2n4^2n(2n+1)! , ou seja, . Assim, podemos substituir por :

Passo 5

Voltando à nossa série original, temos:
14 sumn=0^infty (-1)^n pi^2n4^2n(2n+1)! = 14 cdot sin(pi/4)pi/4
Simplificando:
14 cdot 4 sin(pi/4)pi = sin(pi/4)pi

Passo 6

Sabemos que raiz2/2pi = raiz22pi . Substituindo na expressão:

Resposta

raiz22,pi

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