Um armazém é abastecido mensalmente, sendo que a taxa média de abastecimento é 30 unidades/dia, com desvio padrão de 3 unidades/dia. A demanda média é de 25 unidades/dia, com desvio padrão de 4 unidades/dia. Suponha que o abastecimento e a demanda sejam independentes e, além disso, a demanda e o abastecimento num dia não alteram o abastecimento e a demanda nos dias seguintes. Qual é o valor esperado e o desvio padrão do excedente de produtos, no período de um mês?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um armazém que recebe produtos e também tem uma demanda diária. A taxa média de abastecimento é de 30 unidades por dia, com um desvio padrão de 3 unidades. Já a demanda média é de 25 unidades por dia, com um desvio padrão de 4 unidades. Queremos descobrir qual é o valor esperado (média) e o desvio padrão do excedente de produtos em um mês. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística como média, desvio padrão e propriedades de somas de variáveis aleatórias independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o total de abastecimento e o total de demanda em um mês. Vamos supor que um mês tem 30 dias.
  • Total de Abastecimento (S):
    A média diária é de 30 unidades, então em 30 dias teremos: O desvio padrão total é:

Passo 3

  • Total de Demanda (D):
    A média diária é de 25 unidades, então em 30 dias teremos: O desvio padrão total é:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o excedente de produtos, que é a diferença entre o total de abastecimento e o total de demanda:
Como o abastecimento (S) e a demanda (D) são independentes, podemos calcular a média e o desvio padrão do excedente separadamente.

Passo 5

  • Valor Esperado do Excedente (E):
    A média do excedente é simplesmente a diferença das médias:

Passo 6

  • Desvio Padrão do Excedente (E):
    Para calcular o desvio padrão, usamos a fórmula da variância para a diferença de variáveis independentes: Aqui, usamos a propriedade de que a variância da soma (ou diferença) de variáveis independentes é a soma das variâncias.

Resposta

O valor esperado do excedente de produtos em um mês é de 150 unidades e o desvio padrão é de aproximadamente 27,39 unidades.

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No problema anterior, vimos que, no caso crítico , umas das soluções da equação diferencial do oscilador harmônico,
é dada por , e a outra, que não é um múltipla da primeira, é dada por (por não serem múltiplas, elas são chamadas de independentes). Para obtermos esta segunda solução, utilizemos um método desenvolvido pelo matemático francês J. d(i) Suponha que a segunda solução seja dada por
onde é um valor a determinar. A partir desta expressão, calcule as derivadas , e em função das derivadas e ;
(ii) Substitua os resultados encontrados no item (i) na equação (1), e resolva a equação diferencial envolvendo ;
(iii) Substitua o valor encontrado no item (ii) em (2), e obtenha a solução geral a partir da superposição de e .
Demonstre que
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