No problema anterior, vimos que, no caso crítico , umas das soluções da equação diferencial do oscilador harmônico,
é dada por , e a outra, que não é um múltipla da primeira, é dada por (por não serem múltiplas, elas são chamadas de independentes). Para obtermos esta segunda solução, utilizemos um método desenvolvido pelo matemático francês J. d(i) Suponha que a segunda solução seja dada por
onde é um valor a determinar. A partir desta expressão, calcule as derivadas , e em função das derivadas e ;
(ii) Substitua os resultados encontrados no item (i) na equação (1), e resolva a equação diferencial envolvendo ;
(iii) Substitua o valor encontrado no item (ii) em (2), e obtenha a solução geral a partir da superposição de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o oscilador harmônico criticamente amortecido, que segue a equação diferencial:
Aqui, , que é a condição de amortecimento crítico. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método de redução de ordem. Nosso objetivo é encontrar a segunda solução , assumindo que já conhecemos a primeira solução . Vamos precisar calcular as derivadas de em termos de e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a segunda solução como:
Agora, precisamos encontrar a primeira derivada de em relação ao tempo. Usando a regra do produto para derivadas:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de . Novamente, aplicamos a regra do produto:
Derivando cada termo:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos e em termos de , vamos substituir essas expressões na equação diferencial original:
Substituindo:
Podemos fatorar :
Simplificando os termos:

Passo 5

Sabemos que , então vamos substituir por :
Simplificando os coeficientes:
Então, a equação reduzida para é:

Passo 6

Vamos resolver a equação . Integrando uma vez em relação ao tempo:
Integramos novamente:
Onde e são constantes de integração. Para garantir que seja uma solução linearmente independente, podemos escolher , então:
Podemos renomear como uma constante arbitrária, mas para simplicidade, vamos utilizar:

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de :

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a superposição das duas soluções independentes e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Demonstre que
Esta expressão aparece no exemplo da subseção ©, da seção 4.3, e do capítulo 4 de nosso livro. Sugestão: escreva , desenvolva a função cosseno, e tome o limite apropriadamente.
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