No problema anterior, vimos que, no caso crítico
, umas das soluções da equação diferencial do oscilador harmônico,
é dada por
, e a outra, que não é um múltipla da primeira, é dada por
(por não serem múltiplas, elas são chamadas de independentes). Para obtermos esta segunda solução, utilizemos um método desenvolvido pelo matemático francês J. d(i) Suponha que a segunda solução seja dada por
onde
é um valor a determinar. A partir desta expressão, calcule as derivadas
, e
em função das derivadas
e
;
(ii) Substitua os resultados encontrados no item (i) na equação (1), e resolva a equação diferencial envolvendo
;
(iii) Substitua o valor
encontrado no item (ii) em (2), e obtenha a solução geral
a partir da superposição de
e
.
(ii) Substitua os resultados encontrados no item (i) na equação (1), e resolva a equação diferencial envolvendo
(iii) Substitua o valor
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o oscilador harmônico criticamente amortecido, que segue a equação diferencial:
Aqui,
, que é a condição de amortecimento crítico. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método de redução de ordem. Nosso objetivo é encontrar a segunda solução
, assumindo que já conhecemos a primeira solução
. Vamos precisar calcular as derivadas de
em termos de
e suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a segunda solução como:
Agora, precisamos encontrar a primeira derivada de
em relação ao tempo. Usando a regra do produto para derivadas:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de
. Novamente, aplicamos a regra do produto:
Derivando cada termo:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos
e em termos de
, vamos substituir essas expressões na equação diferencial original:
Substituindo:
Podemos fatorar
:
Simplificando os termos:
Passo 5
Sabemos que
, então vamos substituir
por
:
Simplificando os coeficientes:
Então, a equação reduzida para
é:
Passo 6
Vamos resolver a equação
. Integrando uma vez em relação ao tempo:
Integramos novamente:
Onde
e
são constantes de integração. Para garantir que
seja uma solução linearmente independente, podemos escolher
, então:
Podemos renomear
como uma constante arbitrária, mas para simplicidade, vamos utilizar:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão de
:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a superposição das duas soluções independentes
e
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: