No problema anterior, vimos que, no caso crítico (gamma / 2=omega0), umas das soluções da equação diferencial do oscilador harmônico,
ddotx+gamma dotx+omega0^2 x=0,
é dada por x1(t)=e^-gamma2 t, e a outra, que não é um múltipla da primeira, é dada por x2(t)=t e^-gamma2 t (por não serem múltiplas, elas são chamadas de independentes). Para obtermos esta segunda solução, utilizemos um método desenvolvido pelo matemático francês J. d(i) Suponha que a segunda solução seja dada por
x2(t)=v(t) x1(t)=v(t) e^-gamma2 t
onde v(t) é um valor a determinar. A partir desta expressão, calcule as derivadas dotx2, e ddotx2 em função das derivadas dotv e ddotv;
(ii) Substitua os resultados encontrados no item (i) na equação (1), e resolva a equação diferencial envolvendo v(t);
(iii) Substitua o valor v(t) encontrado no item (ii) em (2), e obtenha a solução geral x(t) a partir da superposição de x1(t) e x2(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o oscilador harmônico criticamente amortecido, que segue a equação diferencial:
ddotx + gamma dotx + omega0^2 x = 0
Aqui, gamma / 2 = omega0, que é a condição de amortecimento crítico. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método de redução de ordem. Nosso objetivo é encontrar a segunda solução x2(t), assumindo que já conhecemos a primeira solução x1(t) = e^-gamma2 t. Vamos precisar calcular as derivadas de x2(t) em termos de v(t) e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a segunda solução como:
x2(t) = v(t) x1(t) = v(t) e^-gamma2 t
Agora, precisamos encontrar a primeira derivada de x2(t) em relação ao tempo. Usando a regra do produto para derivadas:
dotx2(t) = ddt [ v(t) e^-gamma2 t ] = dotv(t) e^-gamma2 t + v(t) cdot ( -gamma2 e^-gamma2 t )
Simplificando:
dotx2(t) = e^-gamma2 t ( dotv(t) - gamma2 v(t) )

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de x2(t). Novamente, aplicamos a regra do produto:
ddotx2(t) = ddt [ e^-gamma2 t ( dotv(t) - gamma2 v(t) ) ]
Derivando cada termo:
ddotx2(t) = e^-gamma2 t ( ddotv(t) - gamma2 dotv(t) ) + ( -gamma2 e^-gamma2 t ) ( dotv(t) - gamma2 v(t) )
Simplificando:
ddotx2(t) = e^-gamma2 t ( ddotv(t) - gamma dotv(t) + gamma^24 v(t) )

Passo 4

Agora que temos dotx2(t) e em termos de ddotx2(t, vamos substituir essas expressões na equação diferencial original:
v(t)
Substituindo:
ddotx2 + gamma dotx2 + omega0^2 x2 = 0
Podemos fatorar e^-gamma2 t ( ddotv(t) - gamma dotv(t) + gamma^24 v(t) ) + gamma e^-gamma2 t ( dotv(t) - gamma2 v(t) ) + omega0^2 e^-gamma2 t v(t) = 0 :
e^-gamma2 t
Simplificando os termos:
e^-gamma2 t ( ddotv(t) - gamma dotv(t) + gamma^24 v(t) + gamma dotv(t) - gamma^22 v(t) + omega0^2 v(t) ) = 0

Passo 5

Sabemos que gamma / 2 = omega0, então vamos substituir omega0^2 por (gamma / 2)^2 = gamma^2 / 4:
ddotv(t) + ( gamma^24 - gamma^22 + gamma^24 ) v(t) = 0
Simplificando os coeficientes:
ddotv(t) + ( gamma^24 - 2gamma^24 + gamma^24 ) v(t) = ddotv(t) = 0
Então, a equação reduzida para v(t) é:
ddotv(t) = 0

Passo 6

Vamos resolver a equação ddotv(t) = 0. Integrando uma vez em relação ao tempo:
dotv(t) = C1
Integramos novamente:
v(t) = C1 t + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração. Para garantir que x2(t) seja uma solução linearmente independente, podemos escolher C2 = 0, então:
v(t) = C1 t
Podemos renomear C1 como uma constante arbitrária, mas para simplicidade, vamos utilizar:
v(t) = t

Passo 7

Agora, substituímos v(t) = t na expressão de x2(t):
x2(t) = v(t) e^-gamma2 t = t e^-gamma2 t

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a superposição das duas soluções independentes x1(t) e x2(t):
x(t) = C1 e^-gamma2 t + C2 t e^-gamma2 t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x(t) = C1 e^-gamma2 t + C2 t e^-gamma2 t

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