Numa fábrica, 3 % dos artigos produzidos são defeituosos. O fabricante pretende vender milhares de peças e recebeu 2 propostas:
Proposta 1: o comprador A propõe examinar uma amostra de 80 peças. Se houver 3 ou menos defeituosas, ele paga 60 unidades monetárias (u.m.) por peça; caso contrário, ele paga 30 u.m. por peça.
Proposta 2: o comprador B propõe examinar 40 peças. Se todas forem perfeitas, ele está disposto a pagar 65 u.m. por pega; caso contrário, ele paga 20 u.m. por peça.
Qual é a melhor proposta? (Calcule o valor esperado da venda em cada proposta.)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema. Temos uma fábrica que produz artigos, sendo que 3% deles são defeituosos. O fabricante quer vender milhares de peças e recebeu duas propostas de compradores diferentes. Precisamos calcular o valor esperado de venda para cada proposta usando conceitos de probabilidade e valor esperado, para então decidir qual proposta é a melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Proposta 1 do comprador A. Ele vai examinar uma amostra de 80 peças. Se encontrar 3 ou menos defeituosas, ele paga 60 unidades monetárias (u.m.) por peça; caso contrário, paga 30 u.m. por peça.
Para calcular o valor esperado dessa proposta, precisamos saber a probabilidade de encontrar 3 ou menos defeituosas em uma amostra de 80 peças. A distribuição que vamos usar aqui é a Distribuição Binomial, que é adequada para situações de sucesso ou fracasso em uma série de tentativas independentes.

Passo 3

Na Distribuição Binomial, a fórmula para a probabilidade de exatamente P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k sucessos (neste caso, peças defeituosas) em tentativas (peças examinadas) é:
Onde:
  • é o coeficiente binomial
  • é a probabilidade de uma peça ser defeituosa (3%, ou 0,03)
  • varia de 0 a 3

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de ter 3 ou menos defeituosas:
P(Até 3 defeituosas) = sumk=0^3 binom80k (0.03)^k (0.97)^80-k é
Depois de calcular essa probabilidade, multiplicamos pelo valor pago por peça em cada cenário para encontrar o valor esperado.

Passo 5

Agora, vamos analisar a Proposta 2 do comprador B. Ele vai examinar uma amostra de 40 peças. Se todas forem perfeitas (ou seja, 0 defeituosas), ele paga 65 u.m. por peça; caso contrário, paga 20 u.m. por peça.
Aqui também usamos a Distribuição Binomial, mas com e . Precisamos calcular a probabilidade de ter 0 defeituosas.

Passo 6

A probabilidade de ter exatamente 0 defeituosas em 40 peças é:
P(0) = binom400 (0.03)^0 (0.97)^40 = (0.97)^40
Com essa probabilidade, podemos calcular o valor esperado da proposta do comprador B, considerando os dois possíveis pagamentos.

Passo 7

Finalmente, com os valores esperados de ambas as propostas calculados, comparamos os resultados para determinar qual proposta é mais vantajosa para o fabricante.

Resposta

Após calcular os valores esperados das duas propostas utilizando a Distribuição Binomial e considerando as probabilidades de cada cenário, concluímos que a Proposta 1 do comprador A oferece um valor esperado maior para o fabricante. Portanto, a melhor proposta é a Proposta 1.

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