Numa fábrica,
dos artigos produzidos são defeituosos. O fabricante pretende vender milhares de peças e recebeu 2 propostas:
Proposta 1: o comprador A propõe examinar uma amostra de 80 peças. Se houver 3 ou menos defeituosas, ele paga 60 unidades monetárias (u.m.) por peça; caso contrário, ele paga 30 u.m. por peça.
Proposta 2: o comprador B propõe examinar 40 peças. Se todas forem perfeitas, ele está disposto a pagar 65 u.m. por pega; caso contrário, ele paga 20 u.m. por peça.
Qual é a melhor proposta? (Calcule o valor esperado da venda em cada proposta.)
Proposta 1: o comprador A propõe examinar uma amostra de 80 peças. Se houver 3 ou menos defeituosas, ele paga 60 unidades monetárias (u.m.) por peça; caso contrário, ele paga 30 u.m. por peça.
Proposta 2: o comprador B propõe examinar 40 peças. Se todas forem perfeitas, ele está disposto a pagar 65 u.m. por pega; caso contrário, ele paga 20 u.m. por peça.
Qual é a melhor proposta? (Calcule o valor esperado da venda em cada proposta.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema. Temos uma fábrica que produz artigos, sendo que 3% deles são defeituosos. O fabricante quer vender milhares de peças e recebeu duas propostas de compradores diferentes. Precisamos calcular o valor esperado de venda para cada proposta usando conceitos de probabilidade e valor esperado, para então decidir qual proposta é a melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Proposta 1 do comprador A. Ele vai examinar uma amostra de 80 peças. Se encontrar 3 ou menos defeituosas, ele paga 60 unidades monetárias (u.m.) por peça; caso contrário, paga 30 u.m. por peça.
Para calcular o valor esperado dessa proposta, precisamos saber a probabilidade de encontrar 3 ou menos defeituosas em uma amostra de 80 peças. A distribuição que vamos usar aqui é a Distribuição Binomial, que é adequada para situações de sucesso ou fracasso em uma série de tentativas independentes.
Passo 3
Na Distribuição Binomial, a fórmula para a probabilidade de exatamente
sucessos (neste caso, peças defeituosas) em
tentativas (peças examinadas) é:
Onde:
-
é o coeficiente binomial -
é a probabilidade de uma peça ser defeituosa (3%, ou 0,03) -
-
varia de 0 a 3
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de ter 3 ou menos defeituosas:
Depois de calcular essa probabilidade, multiplicamos pelo valor pago por peça em cada cenário para encontrar o valor esperado.
Passo 5
Agora, vamos analisar a Proposta 2 do comprador B. Ele vai examinar uma amostra de 40 peças. Se todas forem perfeitas (ou seja, 0 defeituosas), ele paga 65 u.m. por peça; caso contrário, paga 20 u.m. por peça.
Aqui também usamos a Distribuição Binomial, mas com
e
. Precisamos calcular a probabilidade de ter 0 defeituosas.
Passo 6
A probabilidade de ter exatamente 0 defeituosas em 40 peças é:
Com essa probabilidade, podemos calcular o valor esperado da proposta do comprador B, considerando os dois possíveis pagamentos.
Passo 7
Finalmente, com os valores esperados de ambas as propostas calculados, comparamos os resultados para determinar qual proposta é mais vantajosa para o fabricante.
Resposta
Após calcular os valores esperados das duas propostas utilizando a Distribuição Binomial e considerando as probabilidades de cada cenário, concluímos que a Proposta 1 do comprador A oferece um valor esperado maior para o fabricante. Portanto, a melhor proposta é a Proposta 1.