Uma central telefônica recebe, em média, 300 chamadas na hora de maior movimento, e pode processar, no máximo, 10 ligações por minuto. Utilizando a distribuição de Poisson, calcular a probabilidade de que a capacidade da mesa seja ultrapassada em dado minuto do horário de pico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma central telefônica recebe, em média, 300 chamadas na hora de maior movimento. Além disso, essa central consegue processar no máximo 10 ligações por minuto. A gente vai usar a distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de que, em um determinado minuto, a central receba mais chamadas do que consegue atender, ou seja, mais de 10 ligações. Para isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição de Poisson e aplicar as fórmulas corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a probabilidade de um determinado número de eventos acontecer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente entre si.
No nosso caso, os “eventos” são as chamadas recebidas pela central telefônica. Sabemos que, em média, são 300 chamadas por hora. Mas como queremos analisar por minuto, vamos converter essa média para chamadas por minuto.

Passo 3

Vamos calcular a taxa média de chamadas por minuto ( lambda = 300 chamadas60 minutos = 5 chamadas por minuto ):
Então, em média, a central recebe 5 chamadas por minuto.

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de que a central receba mais de 10 chamadas em um minuto. Ou seja, queremos P(X > 10) = 1 - P(X <= 10) , onde é o número de chamadas em um minuto.
Para calcular isso usando a distribuição de Poisson, primeiro vamos reconhecer que:
Então, precisamos calcular a probabilidade de receber 10 chamadas ou menos em um minuto e subtrair isso de 1.

Passo 5

A fórmula da distribuição de Poisson para uma determinada ocorrência P(X = k) = e^-lambda lambda^kk! é:
P(X <= 10) = sumk=0^10 e^-5 cdot 5^kk!
Onde:
  • é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828),
  • é a média de chamadas por minuto (nossa taxa média),
  • é o fatorial de .
Queremos calcular , que é a soma das probabilidades de receber 0 até 10 chamadas:

Passo 6

Vamos calcular cada termo da soma de P(X <= 10) = e^-5 cdot 5^00! + e^-5 cdot 5^11! + ldots + e^-5 cdot 5^1010! até P(X <= 10) approx 0,9963 :
Isso resulta em:

Resposta

A probabilidade de que a capacidade da mesa seja ultrapassada em um minuto do horário de pico é aproximadamente 0,0037 ou 0,37%.

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