(a) Determine a probabilidade da percentagem de caracóis listrados numa amostra aleatória de 10 caracóis desta população ser: 50 %; 60 %; 70 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a probabilidade de, numa amostra aleatória de 10 caracóis, ter 50%, 60% ou 70% de caracóis listrados. Vamos usar probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas (nesse caso, 10 caracóis) e queremos saber a chance de um certo número de “sucessos” (caracóis listrados).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a situação: estamos selecionando 10 caracóis e queremos saber a probabilidade de exatamente 5, 6 ou 7 deles serem listrados, o que corresponde a 50%, 60% e 70% respectivamente.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (10 caracóis),
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (5, 6 ou 7),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (probabilidade de um caracol ser listrado).

Passo 4

Vamos calcular cada caso:

a) 50% listrados ($ k = 5 $):

k = 5

b) 60% listrados ($ k = 6 $):

P(X = 5) = binom105 times p^5 times (1 - p)^5

c) 70% listrados ($ k = 7 $):

k = 6

Passo 5

A gente precisa calcular o coeficiente binomial $ \binom{n}{k} $, que é o número de maneiras de escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas. A fórmula é:
binomnk
Onde “!” significa fatorial.

Passo 6

Vamos calcular cada $ \binom{10}{k} $:

a) $ \binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \times 5!} = 252 $

b) $ \binom{10}{6} = \frac{10!}{6! \times 4!} = 210 $

c) $ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7! \times 3!} = 120 $

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula da binomial para cada caso:

a) 50% listrados:

P(X = 5) = 252 times p^5 times (1 - p)^5

b) 60% listrados:

P(X = 6) = 210 times p^6 times (1 - p)^4

c) 70% listrados:

P(X = 7) = 120 times p^7 times (1 - p)^3

Passo 8

Finalmente, para obter os valores numéricos das probabilidades, precisamos conhecer o valor de $ p $, que é a probabilidade de um caracol ser listrado na população. Sem esse valor, podemos apenas expressar as probabilidades em termos de $ p $, como fizemos acima.

Resposta

As probabilidades de que, numa amostra de 10 caracóis, haja exatamente 50%, 60% ou 70% de caracóis listrados são:
P(50%) = 252 times p^5 times (1 - p)^5
P(60%) = 210 times p^6 times (1 - p)^4
P(70%) = 120 times p^7 times (1 - p)^3

Exercícios relacionados