(a) Determine a probabilidade da percentagem de caracóis listrados numa amostra aleatória de 10 caracóis desta população ser:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a probabilidade de, numa amostra aleatória de 10 caracóis, ter 50%, 60% ou 70% de caracóis listrados. Vamos usar probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas (nesse caso, 10 caracóis) e queremos saber a chance de um certo número de “sucessos” (caracóis listrados).
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a situação: estamos selecionando 10 caracóis e queremos saber a probabilidade de exatamente 5, 6 ou 7 deles serem listrados, o que corresponde a 50%, 60% e 70% respectivamente.
Passo 3
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (10 caracóis),
- $ k $ é o número de sucessos desejados (5, 6 ou 7),
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (probabilidade de um caracol ser listrado).
Passo 4
Vamos calcular cada caso:
a) 50% listrados ($ k = 5 $):
b) 60% listrados ($ k = 6 $):
c) 70% listrados ($ k = 7 $):
Passo 5
A gente precisa calcular o coeficiente binomial $ \binom{n}{k} $, que é o número de maneiras de escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas. A fórmula é:
Onde “!” significa fatorial.
Passo 6
Vamos calcular cada $ \binom{10}{k} $:
a) $ \binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \times 5!} = 252 $
b) $ \binom{10}{6} = \frac{10!}{6! \times 4!} = 210 $
c) $ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7! \times 3!} = 120 $
Passo 7
Agora, substituímos os valores na fórmula da binomial para cada caso:
a) 50% listrados:
b) 60% listrados:
c) 70% listrados:
Passo 8
Finalmente, para obter os valores numéricos das probabilidades, precisamos conhecer o valor de $ p $, que é a probabilidade de um caracol ser listrado na população. Sem esse valor, podemos apenas expressar as probabilidades em termos de $ p $, como fizemos acima.
Resposta
As probabilidades de que, numa amostra de 10 caracóis, haja exatamente 50%, 60% ou 70% de caracóis listrados são: