Um arqueólogo está investigando a idade média de artefatos encontrados em um sítio arqueológico. Com base em estudos anteriores, a idade média esperada dos artefatos é de 300 anos. Para verificar essa expectativa, ele coleta uma amostra de 30 artefatos e registra as seguintes idades (em anos):
275 290 310 305 320 295
280 285 315 300 310 270
325 305 295 280 290 310
300 280 295 305 315 330
290 275 310 285 320 295
Assuma que a população é normalmente distribuída. Utilizando um nível de significância de 5 %, teste a hipótese de que a idade média dos artefatos é diferente de 300 anos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Um arqueólogo quer saber se a idade média dos artefatos que ele encontrou é realmente 300 anos, como os estudos anteriores sugerem. Para testar isso, ele coletou uma amostra de 30 artefatos com idades variadas. Nosso objetivo aqui é usar estatística para verificar se a média real desses artefatos é diferente de 300 anos, usando um nível de significância de 5%. Para resolver isso, vamos precisar usar o teste t de Student para médias, já que estamos trabalhando com uma amostra relativamente pequena e não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados fornecidos. Temos uma lista de 30 idades:
275, 290, 310, 305, 320, 295,
280, 285, 315, 300, 310, 270,
325, 305, 295, 280, 290, 310,
300, 280, 295, 305, 315, 330,
290, 275, 310, 285, 320, 295

Passo 3

Vamos calcular a média amostral ( barx = sumxin ) desses dados. Para isso, somamos todas as idades e dividimos pelo número de artefatos (30).
barx = 900030 = 300
Vamos fazer a soma:
275 + 290 + 310 + 305 + 320 + 295 +
280 + 285 + 315 + 300 + 310 + 270 +
325 + 305 + 295 + 280 + 290 + 310 +
300 + 280 + 295 + 305 + 315 + 330 +
290 + 275 + 310 + 285 + 320 + 295 = 9000
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral ( s = raizsum(xi - barx)^2n-1 ). Primeiro, precisamos calcular cada diferença entre cada valor e a média, elevar ao quadrado, somar tudo e dividir por (275-300)^2 = 625 (290-300)^2 = 100 (310-300)^2 = 100 (305-300)^2 = 25 (320-300)^2 = 400 (295-300)^2 = 25 (280-300)^2 = 400 (285-300)^2 = 225 (315-300)^2 = 225 (300-300)^2 = 0 (310-300)^2 = 100 (270-300)^2 = 900 (325-300)^2 = 625 (305-300)^2 = 25 (295-300)^2 = 25 (280-300)^2 = 400 (290-300)^2 = 100 (310-300)^2 = 100 (300-300)^2 = 0 (280-300)^2 = 400 (295-300)^2 = 25 (305-300)^2 = 25 (315-300)^2 = 225 (330-300)^2 = 900 (290-300)^2 = 100 (275-300)^2 = 625 (310-300)^2 = 100 (285-300)^2 = 225 (320-300)^2 = 400 (295-300)^2 = 25 , depois tirar a raiz quadrada.
625 + 100 + 100 + 25 + 400 + 25 + 400 + 225 + 225 + 0 + 100 + 900 + 625 + 25 + 25 + 400 + 100 + 100 + 0 + 400 + 25 + 25 + 225 + 900 + 100 + 625 + 100 + 225 + 400 + 25 = 6275
Vamos calcular cada s = raiz627529 approx raiz216.3793 approx 14.71 e somar:
Somando todos esses valores:
Então,

Passo 5

Agora que temos a média amostral ( t = barx - mu0sraizn ) e o desvio padrão amostral ( t = 300 - 30014.71raiz30 = 014.715.477 = 0 ), podemos calcular o valor t para o teste.
A fórmula para o valor t é:
Onde:
  • (a média hipotética)
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos determinar o valor crítico para o teste t com graus de liberdade e nível de significância de 5% (teste bilateral). Consultando a tabela t de Student, o valor crítico para 29 graus de liberdade e é aproximadamente í.

Passo 7

Vamos comparar o valor calculado de t com o valor crítico:
-2.045 < 0 < 2.045
Como o valor t calculado (0) está dentro do intervalo crítico , não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, não há evidências suficientes para concluir que a idade média dos artefatos é diferente de 300 anos ao nível de significância de 5%.

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