Um arqueólogo está investigando a idade média de artefatos encontrados em um sítio arqueológico. Com base em estudos anteriores, a idade média esperada dos artefatos é de 300 anos. Para verificar essa expectativa, ele coleta uma amostra de 30 artefatos e registra as seguintes idades (em anos):
275 | 290 | 310 | 305 | 320 | 295 |
---|---|---|---|---|---|
280 | 285 | 315 | 300 | 310 | 270 |
325 | 305 | 295 | 280 | 290 | 310 |
300 | 280 | 295 | 305 | 315 | 330 |
290 | 275 | 310 | 285 | 320 | 295 |
Assuma que a população é normalmente distribuída. Utilizando um nível de significância de
, teste a hipótese de que a idade média dos artefatos é diferente de 300 anos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Um arqueólogo quer saber se a idade média dos artefatos que ele encontrou é realmente 300 anos, como os estudos anteriores sugerem. Para testar isso, ele coletou uma amostra de 30 artefatos com idades variadas. Nosso objetivo aqui é usar estatística para verificar se a média real desses artefatos é diferente de 300 anos, usando um nível de significância de 5%. Para resolver isso, vamos precisar usar o teste t de Student para médias, já que estamos trabalhando com uma amostra relativamente pequena e não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados fornecidos. Temos uma lista de 30 idades:
275, 290, 310, 305, 320, 295,
280, 285, 315, 300, 310, 270,
325, 305, 295, 280, 290, 310,
300, 280, 295, 305, 315, 330,
290, 275, 310, 285, 320, 295
280, 285, 315, 300, 310, 270,
325, 305, 295, 280, 290, 310,
300, 280, 295, 305, 315, 330,
290, 275, 310, 285, 320, 295
Passo 3
Vamos calcular a média amostral (
) desses dados. Para isso, somamos todas as idades e dividimos pelo número de artefatos (30).
Vamos fazer a soma:
275 + 290 + 310 + 305 + 320 + 295 +
280 + 285 + 315 + 300 + 310 + 270 +
325 + 305 + 295 + 280 + 290 + 310 +
300 + 280 + 295 + 305 + 315 + 330 +
290 + 275 + 310 + 285 + 320 + 295 = 9000
280 + 285 + 315 + 300 + 310 + 270 +
325 + 305 + 295 + 280 + 290 + 310 +
300 + 280 + 295 + 305 + 315 + 330 +
290 + 275 + 310 + 285 + 320 + 295 = 9000
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral (
). Primeiro, precisamos calcular cada diferença entre cada valor e a média, elevar ao quadrado, somar tudo e dividir por
, depois tirar a raiz quadrada.
Vamos calcular cada
e somar:
Somando todos esses valores:
Então,
Passo 5
Agora que temos a média amostral (
) e o desvio padrão amostral (
), podemos calcular o valor t para o teste.
A fórmula para o valor t é:
Onde:
-
(a média hipotética) -
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos determinar o valor crítico para o teste t com
graus de liberdade e nível de significância de 5% (teste bilateral). Consultando a tabela t de Student, o valor crítico para 29 graus de liberdade e
é aproximadamente
.
Passo 7
Vamos comparar o valor calculado de t com o valor crítico:
Como o valor t calculado (0) está dentro do intervalo crítico
, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos cálculos, não há evidências suficientes para concluir que a idade média dos artefatos é diferente de 300 anos ao nível de significância de 5%.