Um artigo publicado no Journal of National Cancer Institute (Breast Cancer Screening Policies in Developing Countries: A Cost-Effectiveness Analysis for India, 2008, Vol. 100(18), pp. 1290-1300) apresentou um modelo de análise exploratória de câncer de mama, baseado em dados da Índia. Nessa análise, o tempo no qual o caso de câncer de mama permanece em um estado pré-clínico é modelado por uma distribuição exponencial, com uma média dependente do estado. Por exemplo, o tempo em que um caso de câncer permanece no estado de T1C (tamanho do tumor de 11 a 20 mm ) é distribuído exponencialmente, com uma média de 1,48 ano.
Considere que uma pessoa na Índia seja diagnosticada no estado de T1C. Qual será a probabilidade de que o paciente esteja no mesmo estado seis meses depois?
Considere que uma pessoa na Índia seja diagnosticada no estado de T1C. Qual será a probabilidade de que o paciente esteja no mesmo estado seis meses depois?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um estudo que analisou o tempo que um caso de câncer de mama fica em um estado pré-clínico específico, chamado T1C, na Índia. Esse tempo segue uma distribuição exponencial com uma média de 1,48 ano. O que a gente quer descobrir aqui é: se uma pessoa foi diagnosticada no estado T1C, qual a probabilidade dela ainda estar nesse mesmo estado seis meses depois?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição exponencial. É uma forma de modelar o tempo que leva para ocorrer um determinado evento, nesse caso, o tempo que o câncer permanece no estado T1C antes de progredir. A média dessa distribuição nos dá uma ideia de quanto tempo, em média, algo demora para acontecer.
Passo 3
A fórmula da função de sobrevivência para a distribuição exponencial é:
Onde:
- $ P(T > t) $ é a probabilidade de o tempo $ T $ ser maior que $ t $.
- $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,718.
- $ \mu $ é a média da distribuição.
- $ t $ é o tempo que queremos analisar.
Passo 4
No nosso caso:
- A média $ \mu $ é 1,48 anos.
- O tempo $ t $ é 0,5 anos (seis meses).
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 5
Agora, fazemos a divisão dentro do expoente:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Calculando $ e^{-0,3378} $:
Resposta
A probabilidade de que o paciente ainda esteja no estado T1C seis meses depois é de aproximadamente 71,3%.