Seja X uma variável aleatória de média igual a 5 e variância igual a 1. Seja Y uma variável aleatória de média 1 e variância 4. Considere que X e Y são independentes e defina as variáveis aleatórias T e V como segue:
Determine a média das variáveis T e V
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre variáveis aleatórias, especificamente sobre médias e combinações lineares delas. Precisamos calcular a média das variáveis $ T $ e $ V $ que são combinações de $ X $ e $ Y $. Para isso, vamos usar conceitos de médias de combinações lineares de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a média de uma combinação linear de variáveis aleatórias é igual à mesma combinação linear das médias dessas variáveis. Ou seja, se tivermos $ T = aX + bY $, então $ \mathbb{E}[T] = a\mathbb{E}[X] + b\mathbb{E}[Y] $.
Passo 3
Vamos aplicar isso para calcular a média de $ T $. A expressão de $ T $ é:
Então, usando a propriedade mencionada:
Passo 4
Sabemos que $ \mathbb{E}[X] = 5 $ e $ \mathbb{E}[Y] = 1 $. Substituindo esses valores na expressão:
Passo 5
Agora, vamos calcular a média de $ V $. A expressão de $ V $ é:
Novamente, aplicamos a propriedade da média para combinações lineares:
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos:
Resposta
A média da variável $ T $ é 13 e a média da variável $ V $ é 25.