Seja X uma variável aleatória de média igual a 5 e variância igual a 1. Seja Y uma variável aleatória de média 1 e variância 4. Considere que X e Y são independentes e defina as variáveis aleatórias T e V como segue:
T=3 X-2 Y e V=6 X-4 Y-1
Determine a média das variáveis T e V

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre variáveis aleatórias, especificamente sobre médias e combinações lineares delas. Precisamos calcular a média das variáveis $ T $ e $ V $ que são combinações de $ X $ e $ Y $. Para isso, vamos usar conceitos de médias de combinações lineares de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a média de uma combinação linear de variáveis aleatórias é igual à mesma combinação linear das médias dessas variáveis. Ou seja, se tivermos $ T = aX + bY $, então $ \mathbb{E}[T] = a\mathbb{E}[X] + b\mathbb{E}[Y] $.

Passo 3

Vamos aplicar isso para calcular a média de $ T $. A expressão de $ T $ é:
T
Então, usando a propriedade mencionada:
T

Passo 4

Sabemos que $ \mathbb{E}[X] = 5 $ e $ \mathbb{E}[Y] = 1 $. Substituindo esses valores na expressão:
E[X] = 5

Passo 5

Agora, vamos calcular a média de $ V $. A expressão de $ V $ é:
V
Novamente, aplicamos a propriedade da média para combinações lineares:
V

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos:
E[V] = 6 times 5 - 4 times 1 - 1 = 30 - 4 - 1 = 25

Resposta

A média da variável $ T $ é 13 e a média da variável $ V $ é 25.

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