Seja uma variável aleatória X com função de distribuição acumulada dada abaixo. Determine o que se pede:
FX(x)= 0 ; & x<2,0 0,1 ; & 2,0 <= x<5,0 0,35 ; & 5,0 <= x<9,0 0,65 ; & 9,0 <= x<13,0 0,9 ; & 13,0 <= x<16,0 1,0 ; & x >= 16,0
Calcule P(X<16 mid X >= 5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de distribuição acumulada $ F_X(x) $ dada em intervalos específicos. O que a gente precisa encontrar é a probabilidade de $ X $ ser menor que 16, dado que $ X $ é maior ou igual a 5, ou seja, $ \mathrm{P}(X < 16 \mid X \geq 5) $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é probabilidade condicional. A probabilidade de um evento $ A $ acontecer dado que um evento $ B $ ocorreu é dada por:
A
No nosso caso, $ A $ é $ X < 16 $ e $ B $ é $ X \geq 5 $. Então, precisamos calcular $ \mathrm{P}(5 \leq X < 16) $ e $ \mathrm{P}(X \geq 5) $.

Passo 3

Vamos analisar a função de distribuição acumulada $ F_X(x) $:
FX(x)
Cada “degrau” na função indica a probabilidade acumulada até aquele ponto. Para encontrar as probabilidades específicas nos intervalos, vamos calcular as diferenças entre os valores de $ F_X(x) $.

Passo 4

Calculando as probabilidades nos pontos de interesse:
  • Para $ P(X = 5) $:
    P(X = 5)
  • Para $ P(X = 9) $:
    FX(5) - FX(5^-) = 0,35 - 0,1 = 0,25
  • Para $ P(X = 13) $:
    P(X = 9)
  • Para $ P(X = 16) $:
    FX(9) - FX(9^-) = 0,65 - 0,35 = 0,3

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \mathrm{P}(5 \leq X < 16) $:
P(5 <= X < 16)
E $ \mathrm{P}(X \geq 5) $ é:
P(5 <= X < 16) = P(X = 5) + P(X = 9) + P(X = 13) = 0,25 + 0,3 + 0,25 = 0,8

Passo 6

Aplicando a fórmula da probabilidade condicional:
P(X < 16 mid X >= 5) = P(5 <= X < 16)P(X >= 5) = 0,80,9 approx 0,8889

Resposta

A probabilidade de $ X $ ser menor que 16 dado que $ X $ é maior ou igual a 5 é aproximadamente $ 0,8889 $ ou $ 88,89% $.

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