Seja uma variável aleatória com função de distribuição acumulada dada abaixo. Determine o que se pede:
Calcule P(X<16 mid X >= 5)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de distribuição acumulada $ F_X(x) $ dada em intervalos específicos. O que a gente precisa encontrar é a probabilidade de $ X $ ser menor que 16, dado que $ X $ é maior ou igual a 5, ou seja, $ \mathrm{P}(X < 16 \mid X \geq 5) $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é probabilidade condicional. A probabilidade de um evento $ A $ acontecer dado que um evento $ B $ ocorreu é dada por:
A
No nosso caso, $ A $ é $ X < 16 $ e $ B $ é $ X \geq 5 $. Então, precisamos calcular $ \mathrm{P}(5 \leq X < 16) $ e $ \mathrm{P}(X \geq 5) $.
Passo 3
Vamos analisar a função de distribuição acumulada $ F_X(x) $:
FX(x)
Cada “degrau” na função indica a probabilidade acumulada até aquele ponto. Para encontrar as probabilidades específicas nos intervalos, vamos calcular as diferenças entre os valores de $ F_X(x) $.
Passo 4
Calculando as probabilidades nos pontos de interesse:
Para $ P(X = 5) $:
P(X = 5)
Para $ P(X = 9) $:
FX(5) - FX(5^-) = 0,35 - 0,1 = 0,25
Para $ P(X = 13) $:
P(X = 9)
Para $ P(X = 16) $:
FX(9) - FX(9^-) = 0,65 - 0,35 = 0,3
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \mathrm{P}(5 \leq X < 16) $: