O asfalto de uma estrada está inicialmente na temperatura uniforme de 55 ^circ C. De repente, a temperatura da superfície da estrada é reduzida a 25^circ C devido à chuva. Determine a temperatura na profundidade de 3 cm da superfície da estrada e o fluxo de calor transferido na estrada depois de 60 minutos. Suponha que a temperatura da superfície da estrada é mantida a 25^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre a temperatura do asfalto de uma estrada. Inicialmente, ele está com temperatura uniforme de 55°C. De repente, a superfície cai para 25°C por causa da chuva. A gente precisa descobrir qual é a temperatura a 3 cm de profundidade após 60 minutos e também o fluxo de calor que está sendo transferido nessa situação. Para resolver isso, vamos usar a teoria de condução de calor no estado não estacionário, ou seja, quando a temperatura varia com o tempo e com a profundidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a temperatura muda dentro do asfalto com o tempo e a profundidade. A fórmula que usamos para isso é:
T(x,t) = Tsuperfície + ( Tinicial - Tsuperfície ) cdot erfc( x2 raizalpha t ) íí
Aqui:
  • é a temperatura na profundidade e no tempo .
  • í é a temperatura da superfície após a mudança (25°C).
  • é a temperatura inicial do asfalto (55°C).
  • é a difusividade térmica do asfalto.
  • é a fun��ão erro complementar, que ajuda a descrever como a temperatura se propaga no material.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula para encontrar a temperatura a 3 cm de profundidade após 60 minutos. Primeiro, precisamos converter os valores para as unidades corretas:
  • Profundidade T(0,03, 3600) = 25 + (55 - 25) cdot erfc( 0,032 raiz1 times 10^-6 times 3600 )
  • Tempo 2 raizalpha t = 2 raiz1 times 10^-6 times 3600 = 2 raiz0,0036 approx 2 times 0,06 = 0,12
Agora, precisamos saber a difusividade térmica 0,030,12 = 0,25 do asfalto. Vamos assumir que T = 25 + 30 cdot erfc(0,25) (valor típico para asfalto).
Substituindo na fórmula:
T approx 25 + 30 times 0,6827 = 25 + 20,48 = 45,48^circ C
Primeiro, calculamos o denominador dentro da função erfc:
Agora, a razão dentro da erfc:
Então:
Usando uma tabela ou calculadora de função erro complementar, sabemos que .
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo de calor transferido na estrada. Para isso, usamos a Lei de Fourier, que diz que o fluxo de calor q = -k partial Tpartial x é:
partial Tpartial x = -(Tinicial - Tsuperfície)2 raizpi alpha t e^-( x2 raizalpha t )^2
Onde:
  • q = -k ( -(55 - 25)2 raizpi times 1 times 10^-6 times 3600 ) e^0 é a condutividade térmica do asfalto. Vamos assumir q = 30 times 1,32 raizpi times 0,0036 = 392 raiz0,0113 approx 392 times 0,106 approx 390,212 approx 183,02 W/m^2 .
  • é a derivada da temperatura em relação à profundidade.
A derivada da nossa função de temperatura é:
í
Como queremos o fluxo na superfície ( ):
Simplificando:

Resposta

Após 60 minutos, a temperatura a 3 cm de profundidade na estrada será de aproximadamente 45,48°C, e o fluxo de calor transferido será de 183,02 W/m².

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