O asfalto de uma estrada está inicialmente na temperatura uniforme de 55
. De repente, a temperatura da superfície da estrada é reduzida a
devido à chuva. Determine a temperatura na profundidade de 3 cm da superfície da estrada e o fluxo de calor transferido na estrada depois de 60 minutos. Suponha que a temperatura da superfície da estrada é mantida a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre a temperatura do asfalto de uma estrada. Inicialmente, ele está com temperatura uniforme de 55°C. De repente, a superfície cai para 25°C por causa da chuva. A gente precisa descobrir qual é a temperatura a 3 cm de profundidade após 60 minutos e também o fluxo de calor que está sendo transferido nessa situação. Para resolver isso, vamos usar a teoria de condução de calor no estado não estacionário, ou seja, quando a temperatura varia com o tempo e com a profundidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a temperatura muda dentro do asfalto com o tempo e a profundidade. A fórmula que usamos para isso é:
Aqui:
-
é a temperatura na profundidade e no tempo . -
é a temperatura da superfície após a mudança (25°C). -
é a temperatura inicial do asfalto (55°C). -
é a difusividade térmica do asfalto. -
é a fun��ão erro complementar, que ajuda a descrever como a temperatura se propaga no material.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula para encontrar a temperatura a 3 cm de profundidade após 60 minutos. Primeiro, precisamos converter os valores para as unidades corretas:
- Profundidade
- Tempo
Agora, precisamos saber a difusividade térmica
do asfalto. Vamos assumir que
(valor típico para asfalto).
Substituindo na fórmula:
Primeiro, calculamos o denominador dentro da função erfc:
Agora, a razão dentro da erfc:
Então:
Usando uma tabela ou calculadora de função erro complementar, sabemos que
.
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo de calor transferido na estrada. Para isso, usamos a Lei de Fourier, que diz que o fluxo de calor
é:
Onde:
-
é a condutividade térmica do asfalto. Vamos assumir . -
é a derivada da temperatura em relação à profundidade.
A derivada da nossa função de temperatura é:
Como queremos o fluxo na superfície (
):
Simplificando:
Resposta
Após 60 minutos, a temperatura a 3 cm de profundidade na estrada será de aproximadamente 45,48°C, e o fluxo de calor transferido será de 183,02 W/m².