Um recipiente grande de ferro fundido (
e
) com paredes de 4 cm de espessura, inicialmente a uma temperatura uniforme de
, está cheio com gelo a
. Agora, a superfície externa do recipiente é exposta à água quente a
, com um coeficiente de transferência de calor muito grande. Determine o tempo necessário para o gelo no interior do recipiente começar a derreter. Além disso, considerando o coeficiente de transferência de calor na superfície interna do recipiente como
, determine a taxa de transferência de calor para o gelo através da seção de uma parede de
de largura e 2
de altura quando as condições operacionais permanentes forem atingidas. Considere que o gelo começa a derreter quando a temperatura da sua superfície interna sobe para
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um recipiente grande de ferro fundido com paredes de 4 cm de espessura, inicialmente a
, cheio de gelo também a
. A parte externa do recipiente é colocada em contato com água quente a
. Precisamos descobrir quanto tempo leva para o gelo começar a derreter, ou seja, quando a temperatura interna atinge
. Além disso, queremos saber a taxa de transferência de calor quando o sistema estiver estável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e transferência de calor por convecção.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o tempo necessário para que o gelo comece a derreter. Para isso, consideramos a condução de calor através das paredes do recipiente. A equação que relaciona o tempo (
) com a espessura das paredes (
), a difusividade térmica (
), e a mudança de temperatura é baseada na solução da equação de calor para um meio semi-infinito.
A difusividade térmica (
) é dada por:
Onde:
-
é a condutividade térmica do ferro fundido, -
é a densidade, -
é a capacidade térmica específica.
Como não temos
e
, vamos assumir que esses valores são incorporados na difusividade fornecida, ou que estamos considerando diretamente o tempo de resposta térmica.
A relação entre o tempo e a profundidade
é aproximadamente:
Convertendo a espessura das paredes para metros:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a taxa de transferência de calor quando as condições estiverem estáveis. Para isso, usamos a Lei de Fourier para condução de calor:
Onde:
-
é a área através da qual o calor está sendo transferido, -
é a diferença de temperatura, -
é a espessura da parede.
Primeiro, calculamos a área
:
A diferença de temperatura é:
Substituindo na fórmula:
Resposta
O tempo necessário para o gelo começar a derreter é de aproximadamente 94 segundos. A taxa de transferência de calor quando as condições operacionais permanentes forem atingidas é de 171.600 W.