Um recipiente grande de ferro fundido ( k 52 W / mK e 1,70 10-5 m / s ) com paredes de 4 cm de espessura, inicialmente a uma temperatura uniforme de 0^circ C, está cheio com gelo a 0^circ C. Agora, a superfície externa do recipiente é exposta à água quente a 55^circ C, com um coeficiente de transferência de calor muito grande. Determine o tempo necessário para o gelo no interior do recipiente começar a derreter. Além disso, considerando o coeficiente de transferência de calor na superfície interna do recipiente como 250 W / m 2 K, determine a taxa de transferência de calor para o gelo através da seção de uma parede de 1,2 m de largura e 2 m de altura quando as condições operacionais permanentes forem atingidas. Considere que o gelo começa a derreter quando a temperatura da sua superfície interna sobe para 0,1^circ C.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um recipiente grande de ferro fundido com paredes de 4 cm de espessura, inicialmente a , cheio de gelo também a . A parte externa do recipiente é colocada em contato com água quente a . Precisamos descobrir quanto tempo leva para o gelo começar a derreter, ou seja, quando a temperatura interna atinge . Além disso, queremos saber a taxa de transferência de calor quando o sistema estiver estável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e transferência de calor por convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo necessário para que o gelo comece a derreter. Para isso, consideramos a condução de calor através das paredes do recipiente. A equação que relaciona o tempo ( alpha = krho cp ) com a espessura das paredes ( t = L^2alpha ), a difusividade térmica ( L = 4,cm = 0,04,m ), e a mudança de temperatura é baseada na solução da equação de calor para um meio semi-infinito.
A difusividade térmica ( t = (0,04)^21,70 times 10^-5 approx 0,00161,70 times 10^-5 approx 94,12,segundos ) é dada por:
Onde:
  • é a condutividade térmica do ferro fundido,
  • é a densidade,
  • é a capacidade térmica específica.
Como não temos e , vamos assumir que esses valores são incorporados na difusividade fornecida, ou que estamos considerando diretamente o tempo de resposta térmica.
A relação entre o tempo e a profundidade é aproximadamente:
Convertendo a espessura das paredes para metros:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa de transferência de calor quando as condições estiverem estáveis. Para isso, usamos a Lei de Fourier para condução de calor:
dotQ = k A De
Onde:
  • A = largura times a é a área através da qual o calor está sendo transferido,
  • De é a diferença de temperatura,
  • dotQ = 52,W/mK times 2,4,m^2 times 55,K0,04,m = 52 times 2,4 times 550,04 é a espessura da parede.
Primeiro, calculamos a área dotQ = 68640,04 = 171600,W :
A diferença de temperatura é:
Substituindo na fórmula:

Resposta

O tempo necessário para o gelo começar a derreter é de aproximadamente 94 segundos. A taxa de transferência de calor quando as condições operacionais permanentes forem atingidas é de 171.600 W.

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