No capacitor mostrado ao lado, encontre uma expressão para a capacitância em função de
e
. Despreze possíveis efeitos de borda considerando
d.
Ache a capacitância final, usando os valores:
e
Ache a capacitância final, usando os valores:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um capacitor com uma área de
, uma distância entre as placas
, e três constantes dielétricas
,
e
. A tarefa é encontrar uma expressão para a capacitância
em função desses parâmetros e, depois, calcular o valor final da capacitância usando os valores fornecidos.
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da capacitância de um capacitor plano com dielétricos. Também vamos considerar que os efeitos de borda são desprezados, ou seja,
, o que simplifica nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacitância
de um capacitor plano sem dielétrico é dada por:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é a área das placas, -
é a distância entre as placas.
Quando adicionamos materiais dielétricos entre as placas, a capacitância aumenta dependendo da constante dielétrica
do material. No nosso caso, temos três constantes dielétricas diferentes, então precisamos considerar como elas estão distribuídas no capacitor.
Passo 3
Vamos supor que os dielétricos
,
e
estão distribuídos de forma que metade do capacitor tem
e a outra metade tem
e
em série. Isso significa que a capacitância total será a soma das capacitâncias dessas duas partes.
A capacitância com
ocupa metade da área, então sua contribuição será:
Para
e
em série, a capacitância equivalente
é dada por:
Onde:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, somamos as duas contribuições para obter a capacitância total
:
Essa é a expressão geral para a capacitância em função de
,
,
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores fornecidos na expressão para calcular a capacitância final.
Primeiro, convertemos as unidades para o Sistema Internacional (SI):
- Área:
- Distância:
Substituindo na expressão:
Vamos calcular cada parte:
- Primeira parte:
- Segunda parte:
- Multiplicando as partes:
Resposta
A capacitância final é aproximadamente
.
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