No capacitor mostrado ao lado, encontre uma expressão para a capacitância em função de A, d, k1, k2 e k3. Despreze possíveis efeitos de borda considerando 1>> d.
Ache a capacitância final, usando os valores:
A=100 cm^2, d=2 mm, k1=4,9, k2=5,6 e k3=2,1
R: C=epsilono Ad(kappa12+kappa2 kappa3kappa2+kappa3) ; 176,1 pF

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um capacitor com uma área de , uma distância entre as placas , e três constantes dielétricas , e . A tarefa é encontrar uma expressão para a capacitância em função desses parâmetros e, depois, calcular o valor final da capacitância usando os valores fornecidos.
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da capacitância de um capacitor plano com dielétricos. Também vamos considerar que os efeitos de borda são desprezados, ou seja, , o que simplifica nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância C = epsilon0 cdot Ad de um capacitor plano sem dielétrico é dada por:
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a área das placas,
  • é a distância entre as placas.
Quando adicionamos materiais dielétricos entre as placas, a capacitância aumenta dependendo da constante dielétrica do material. No nosso caso, temos três constantes dielétricas diferentes, então precisamos considerar como elas estão distribuídas no capacitor.

Passo 3

Vamos supor que os dielétricos C1 = k1 cdot epsilon0 cdot A2d , 1C23 = 1C2 + 1C3 e C2 = k2 cdot epsilon0 cdot A2d e C3 = k3 cdot epsilon0 cdot A2d estão distribuídos de forma que metade do capacitor tem C23 = C2 cdot C3C2 + C3 = ( k2 cdot epsilon0 cdot A2d ) ( k3 cdot epsilon0 cdot A2d ) k2 cdot epsilon0 cdot A2d + k3 cdot epsilon0 cdot A2d = k2 cdot k3k2 + k3 cdot epsilon0 cdot A2d e a outra metade tem e em série. Isso significa que a capacitância total será a soma das capacitâncias dessas duas partes.
A capacitância com ocupa metade da área, então sua contribuição será:
Para e em série, a capacitância equivalente é dada por:
Onde:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, somamos as duas contribuições para obter a capacitância total C = C1 + C23 = k1 cdot epsilon0 cdot A2d + k2 cdot k3k2 + k3 cdot epsilon0 cdot A2d = epsilon0 cdot Ad ( k12 + k2 cdot k3k2 + k3 ) :
Essa é a expressão geral para a capacitância em função de , , , e .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores fornecidos na expressão para calcular a capacitância final.
Primeiro, convertemos as unidades para o Sistema Internacional (SI):
  • Área: C = 8,85 times 10^-12 , F/m cdot 0,01 , m^22 times 10^-3 , m ( 4,92 + 5,6 cdot 2,15,6 + 2,1 )
  • Distância: 8,85 times 10^-12 cdot 0,012 times 10^-3 = 8,85 times 10^-142 times 10^-3 = 4,425 times 10^-11 , F
Substituindo na expressão:
4,92 = 2,45
Vamos calcular cada parte:
  1. Primeira parte:
5,6 cdot 2,15,6 + 2,1 = 11,767,7 approx 1,526
  1. Segunda parte:
2,45 + 1,526 = 3,976
C = 4,425 times 10^-11 times 3,976 approx 1,7581 times 10^-10 , F = 176,1 , pF
  1. Multiplicando as partes:

Resposta

A capacitância final é aproximadamente .

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