No capacitor mostrado ao lado, encontre uma expressão para a capacitância em função de e . Despreze possíveis efeitos de borda considerando d.
Ache a capacitância final, usando os valores:
e

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um capacitor com uma área de , uma distância entre as placas , e três constantes dielétricas , e . A tarefa é encontrar uma expressão para a capacitância em função desses parâmetros e, depois, calcular o valor final da capacitância usando os valores fornecidos.
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da capacitância de um capacitor plano com dielétricos. Também vamos considerar que os efeitos de borda são desprezados, ou seja, , o que simplifica nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor plano sem dielétrico é dada por:
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a área das placas,
  • é a distância entre as placas.
Quando adicionamos materiais dielétricos entre as placas, a capacitância aumenta dependendo da constante dielétrica do material. No nosso caso, temos três constantes dielétricas diferentes, então precisamos considerar como elas estão distribuídas no capacitor.

Passo 3

Vamos supor que os dielétricos , e estão distribuídos de forma que metade do capacitor tem e a outra metade tem e em série. Isso significa que a capacitância total será a soma das capacitâncias dessas duas partes.
A capacitância com ocupa metade da área, então sua contribuição será:
Para e em série, a capacitância equivalente é dada por:
Onde:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, somamos as duas contribuições para obter a capacitância total :
Essa é a expressão geral para a capacitância em função de , , , e .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores fornecidos na expressão para calcular a capacitância final.
Primeiro, convertemos as unidades para o Sistema Internacional (SI):
  • Área:
  • Distância:
Substituindo na expressão:
Vamos calcular cada parte:
  1. Primeira parte:
  1. Segunda parte:
  1. Multiplicando as partes:

Resposta

A capacitância final é aproximadamente .

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