Assinale a afirmação verdadeira.
(raiz5+1) cdot(raiz5-1) é racional e 0,999 ldots é racional.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas partes aqui:
  1. Multiplicar (raiz5+1) por (raiz5-1) e ver se o resultado é um número racional.
  2. Verificar se 0,999 ldots (com casas decimais infinitas) é um número racional.
Vamos precisar saber o que é número racional e entender como multiplicar expressões com raízes quadradas. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração ab, onde a e b são inteiros e b neq 0. Exemplos são 1/2, -3, e 4.75.
Agora, vamos multiplicar (raiz5+1) por (raiz5-1). Isso parece um caso de multiplicação de dois binômios conjugados. Você já ouviu falar disso?

Passo 3

Quando multiplicamos dois binômios conjugados da forma (a+b)(a-b), o resultado é a^2 - b^2. Vamos aplicar isso aqui:
(raiz5+1)(raiz5-1) = (raiz5)^2 - (1)^2
Sabemos que (raiz5)^2 = 5 e 1^2 = 1. Então:
5 - 1 = 4
Então, o resultado dessa multiplicação é 4, que é um número inteiro, e portanto, racional.

Passo 4

Agora, vamos analisar 0,999 ldots. Tem gente que pensa que esse número é diferente de 1, mas na verdade, eles são iguais. Isso pode parecer estranho, mas tem prova matemática para isso.
Um jeito de ver isso é considerar x = 0,999 ldots. Multiplicando por 10, temos:
10x = 9,999 ldots
Subtraindo a primeira equação da segunda:
10x - x = 9,999 ldots - 0,999 ldots 9x = 9 x = 1
Então, 0,999 ldots = 1, que é claro, um número racional.

Resposta

Ambas as afirmações são verdadeiras: (raiz5+1) cdot (raiz5-1) é um número racional e 0,999 ldots também é racional.

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