Assinale a alternativa que apresenta o erro obtido quando utilizamos o teorema de Taylor de ordem 2 para aproximar a função f(x)=ex no ponto x=2,02, utilizando como referência o ponto a=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Taylor de ordem 2 para aproximar a função $ f(x) = e^{x} $ no ponto $ x = 2,02 $, tomando como referência o ponto $ a = 2 $. Além disso, queremos descobrir qual é o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teorema de Taylor de ordem 2. Ele nos dá uma aproximação da função perto de um ponto $ a $ usando até a segunda derivada. A fórmula é:
a
Para calcular isso, precisamos saber o valor da função e suas derivadas no ponto $ a = 2 $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = e^{x} $:
f(x) = e^x
f(a) = e^2
f'(a) = e^2
Tudo fica igual porque a derivada de $ e^{x} $ é sempre $ e^{x} $.

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
P2(2,02) = e^2 + e^2(2,02 - 2) + e^22(2,02 - 2)^2
Vamos simplificar:
2,02 - 2 = 0,02
Então:
P2(2,02) = e^2 + e^2(0,02) + e^22(0,02)^2

Passo 5

Agora, calculamos cada termo:
e^2 approx 7,389
e^2 times 0,02 approx 0,148
e^22 times (0,02)^2 = 7,3892 times 0,0004 approx 0,0015
Somando tudo:
P2(2,02) approx 7,389 + 0,148 + 0,0015 approx 7,5385

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor real da função em $ x = 2,02 $:
x = 2,02

Passo 7

O erro da aproximação é a diferença entre o valor real e a aproximação dada pelo polinômio de Taylor:
Erro = |f(2,02) - P2(2,02)| approx |7,5387 - 7,5385| approx 0,0002

Resposta

O erro obtido na aproximação usando o Teorema de Taylor de ordem 2 é aproximadamente 0,0002.

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