Assinale a alternativa que apresenta o erro obtido quando utilizamos o teorema de Taylor de ordem 2 para aproximar a função f(x)=ex no ponto x=2,02, utilizando como referência o ponto a=2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Taylor de ordem 2 para aproximar a função $ f(x) = e^{x} $ no ponto $ x = 2,02 $, tomando como referência o ponto $ a = 2 $. Além disso, queremos descobrir qual é o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teorema de Taylor de ordem 2. Ele nos dá uma aproximação da função perto de um ponto $ a $ usando até a segunda derivada. A fórmula é:
Para calcular isso, precisamos saber o valor da função e suas derivadas no ponto $ a = 2 $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = e^{x} $:
Tudo fica igual porque a derivada de $ e^{x} $ é sempre $ e^{x} $.
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Vamos simplificar:
Então:
Passo 5
Agora, calculamos cada termo:
Somando tudo:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor real da função em $ x = 2,02 $:
Passo 7
O erro da aproximação é a diferença entre o valor real e a aproximação dada pelo polinômio de Taylor:
Resposta
O erro obtido na aproximação usando o Teorema de Taylor de ordem 2 é aproximadamente 0,0002.