Suponha que a quantidade de ar em um balão a qualquer momento t é dado por: V(t) = 6374t + 1. Determine se o balão está sendo preenchido com ar ou sem ar no instante t = 8.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função que nos diz a quantidade de ar num balão a qualquer instante de tempo $ t $, que é $ V(t) = 6374t + 1 $. O que precisamos descobrir é se, no instante $ t = 8 $, o balão está sendo preenchido com ar (ou seja, se o volume está aumentando) ou não.
Passo 2
Para descobrir se o balão está sendo preenchido ou não, precisamos ver como o volume $ V(t) $ está mudando com o tempo. Isso envolve calcular a taxa de variação do volume em relação ao tempo, que é a derivada da função $ V(t) $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ V(t) $. A função dada é:
A derivada de $ V(t) $ em relação a $ t $, denotada por $ V’(t) $, representa a velocidade com que o volume está mudando no tempo.
Passo 4
Calculando a derivada:
Isso significa que a taxa de variação do volume é constante e igual a 6374 unidades de volume por unidade de tempo.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a derivada no instante $ t = 8 $:
Como $ V’(8) $ é positivo, isso indica que o volume está aumentando naquele momento.
Resposta
No instante $ t = 8 $, o balão está sendo preenchido com ar.