Assinale a alternativa contendo equações de uma reta que passa pelo ponto de coordenadas (1,2,-1) e que é paralela à reta de equação lx-y-z-1=0 x-2 y-z+2=0
(A) lx=1+2 t y=2 z=-1+3 t (t in R)
(B) lx=3-2 t y=2 z=1-2 t (t in R)
© lx=3+2 t y=2 z=-4-3 t (t in R)
(D) lx=4+t y=2 z=3+t (t in R)
(E) lx=1-3 t y=2 z=2-3 t (t in R)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto (1,2,-1) e que é paralela a outra reta dada pelas equações:
x - y - z -1 =0 x - 2 y - z +2=0
Aqui, estamos lidando com Geometria Analítica, especificamente com retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar encontrar o vetor diretor da reta dada e depois usar esse vetor para formar a equação da nova reta que desejamos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta que é definida pelo sistema de equações:
x - y - z -1 =0 x - 2 y - z +2=0
Para encontrar o vetor diretor, podemos resolver esse sistema para expressar duas das variáveis em função de um parâmetro.
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
(x - 2y - z +2) - (x - y - z -1) = 0 Rightarrow -y +3 =0 Rightarrow y =3
Com y=3, substituímos na primeira equação:
x -3 - z -1 =0 Rightarrow x - z =4 Rightarrow z = x -4
Agora, podemos escolher x como parâmetro t, então:
x = t y =3 z = t -4
Então, a equação paramétrica da reta é:
x = t y =3 z = t -4
O vetor diretor dessa reta é dado pelos coeficientes de t, ou seja, d = (1, 0, 1).

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor da reta dada, sabemos que a reta que queremos construir deve ter o mesmo vetor diretor, já que elas são paralelas.
A reta que passa pelo ponto (1,2,-1) com vetor diretor d = (1, 0, 1) pode ser escrita em forma paramétrica como:
x =1 +1 cdot t y =2 +0 cdot t z =-1 +1 cdot t (t in R)
Simplificando, fica:
x =1 + t y =2 z =-1 + t (t in R)

Passo 4

Agora, vamos comparar essa equação com as alternativas fornecidas:
(A)
x=1+2 t y=2 z=-1+3 t
(B)
x=3-2 t y=2 z=1-2 t
©
x=3+2 t y=2 z=-4-3 t
(D)
x=4+t y=2 z=3+t
(E)
x=1-3 t y=2 z=2-3 t
A equação que encontramos é:
x =1 + t y =2 z =-1 + t
Vamos ver qual alternativa coincide com isso.

Resposta

Nenhuma das alternativas fornecidas coincide exatamente com a equação encontrada. No entanto, a alternativa (D) está mais próxima, mas com diferenças nos valores constantes. Pode haver um erro nas alternativas fornecidas ou na interpretação do vetor diretor. Recomendo revisar o enunciado ou as alternativas para garantir a precisão.

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