Vamos resolver a parte (a) do exercício. A questão pede para escrevermos a equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica relativos a planos no espaço, como vetores normais e equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estejam no plano determinado pelos três pontos. Podemos obter esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos dados:
Passo 3
Com esses dois vetores no plano, podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial . O vetor normal nos dá a direção perpendicular ao plano.
Passo 4
Simplificamos o vetor normal n = (3, 6, 2) dividindo por -1 para facilitar:
Passo 5
Agora, usamos o vetor normal e um dos pontos para escrever a equação geral do plano. A equação geral de um plano é:
3(x - x0) + 6(y - y0) + 2(z - z0) = 0
Usando o ponto 3(x - 1) + 6(y - 0) + 2(z - 2) = 0 :
3x - 3 + 6y + 2z - 4 = 0
3x + 6y + 2z - 7 = 0
Passo 6
Para as equações paramétricas, precisamos de um ponto do plano e dos vetores diretores. Usamos o ponto x = 1 - 2t e os vetores y = 0 + 2t + s e z = 2 - 3t - 3s :
Onde e são parâmetros.
Resposta
A equação geral do plano é x = 1 - 2t y = 2t + s z = 2 - 3t - 3s e o sistema de equações paramétricas é: