Escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos:
(a) A(1,0,2), B(-1,2,-1) e C(1,1,-1);
(b) A(2,0,-1), B(-2,6,3) e C (0,3,4);
© A(2,1,3), B(-3,-1,3) e (4,2,3).

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício. A questão pede para escrevermos a equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica relativos a planos no espaço, como vetores normais e equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estejam no plano determinado pelos três pontos. Podemos obter esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos dados:
AB = B - A = (-1-1, 2-0, -1-2) = (-2, 2, -3)
AC = C - A = (1-1, 1-0, -1-2) = (0, 1, -3)

Passo 3

Com esses dois vetores no plano, podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial n = AB times AC = i & j & k -2 & 2 & -3 0 & 1 & -3 = i(2 cdot (-3) - (-3) cdot 1) - j((-2) cdot (-3) - (-3) cdot 0) + k((-2) cdot 1 - 2 cdot 0) . O vetor normal nos dá a direção perpendicular ao plano.
n = i(-6 + 3) - j(6 - 0) + k(-2 - 0) = (-3, -6, -2)

Passo 4

Simplificamos o vetor normal n = (3, 6, 2) dividindo por -1 para facilitar:

Passo 5

Agora, usamos o vetor normal e um dos pontos para escrever a equação geral do plano. A equação geral de um plano é:
3(x - x0) + 6(y - y0) + 2(z - z0) = 0
Usando o ponto 3(x - 1) + 6(y - 0) + 2(z - 2) = 0 :
3x - 3 + 6y + 2z - 4 = 0
3x + 6y + 2z - 7 = 0

Passo 6

Para as equações paramétricas, precisamos de um ponto do plano e dos vetores diretores. Usamos o ponto x = 1 - 2t e os vetores y = 0 + 2t + s e z = 2 - 3t - 3s :
Onde e são parâmetros.

Resposta

A equação geral do plano é x = 1 - 2t y = 2t + s z = 2 - 3t - 3s e o sistema de equações paramétricas é:

Exercícios relacionados