Vamos resolver a parte (a) do exercício. A questão pede para escrevermos a equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica relativos a planos no espaço, como vetores normais e equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estejam no plano determinado pelos três pontos. Podemos obter esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos dados:
Passo 3
Com esses dois vetores no plano, podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial . O vetor normal nos dá a direção perpendicular ao plano.
Passo 4
Simplificamos o vetor normal dividindo por -1 para facilitar:
Passo 5
Agora, usamos o vetor normal e um dos pontos para escrever a equação geral do plano. A equação geral de um plano é:
Usando o ponto :
Passo 6
Para as equações paramétricas, precisamos de um ponto do plano e dos vetores diretores. Usamos o ponto e os vetores e :
Onde e são parâmetros.
Resposta
A equação geral do plano é e o sistema de equações paramétricas é: