Suponha que u, v e w sejam vetores tais que
lang<= u, vrang<==2, lang<= v, wrang<==-3, lang<= u, wrang<==5, |u|=1, |v|=2, |w|=7
Em cada parte, calcule a expressão: lang<= 2 w-v, 2 w-vrang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a expressão lang<= 2w - v, 2w - vrang<= usando as informações que a gente tem sobre os vetores u, v e w. Para isso, vamos usar conceitos de produto interno e normas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o símbolo lang<= a, b rang<= representa o produto interno entre os vetores a e b. Esse produto interno nos ajuda a entender como dois vetores se “relacionam” em termos de direção e magnitude.

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão lang<= 2w - v, 2w - vrang<=. Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
lang<= 2w - v, 2w - vrang<= = lang<= 2w, 2w rang<= - lang<= 2w, v rang<= - lang<= v, 2w rang<= + lang<= v, v rang<=

Passo 4

Vamos simplificar cada termo dessa expressão:
  1. lang<= 2w, 2w rang<= = 4lang<= w, w rang<= (porque 2 times 2 = 4)
  2. lang<= 2w, v rang<= = 2lang<= w, v rang<=
  3. lang<= v, 2w rang<= = 2lang<= v, w rang<=
  4. lang<= v, v rang<= = |v|^2 (a norma ao quadrado)
Então, substituindo:
4lang<= w, w rang<= - 2lang<= w, v rang<= - 2lang<= v, w rang<= + |v|^2

Passo 5

Sabemos que o produto interno de um vetor com ele mesmo é a norma ao quadrado desse vetor. Ou seja:
  • lang<= w, w rang<= = |w|^2
  • lang<= v, v rang<= = |v|^2
Também, sabemos que:
  • lang<= w, v rang<= = lang<= v, w rang<= = -3 (dados do problema)
E as normas são:
  • |w| = 7, então |w|^2 = 49
  • |v| = 2, então |v|^2 = 4

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão:
4 times 49 - 2 times (-3) - 2 times (-3) + 4
Calculando cada parte:
  1. 4 times 49 = 196
  2. -2 times (-3) = 6
  3. -2 times (-3) = 6
  4. + 4 = 4

Passo 7

Agora, somamos todos esses valores:
196 + 6 + 6 + 4 = 212

Resposta

O valor de lang<= 2w - v, 2w - vrang<= é 212.

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