Em cada um dos itens abaixo, encontre equações paramétricas para a reta
.
(i)
passa pelo ponto
e é perpendicular à reta de equação
.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A questão nos pede para encontrar as equações paramétricas de uma reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular a outra reta dada pela equação:
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a direção de uma reta perpendicular a outra e como montar as equações paramétricas usando um ponto e um vetor diretor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor direcionador da reta dada. Na equação
, o vetor
é o vetor que indica a direção da reta. Como queremos que a reta
seja perpendicular a essa, precisamos que o vetor direção de
seja perpendicular a
.
Passo 3
Sabemos que dois vetores são perpendiculares se o produto interno (ou escalar) entre eles for zero. Então, se o vetor direção de
for
, temos:
Isso simplifica para:
Isso nos diz que o vetor direção
deve ter componentes que satisfaçam essa relação.
Passo 4
Escolhemos um valor para
para determinar
. Vamos escolher
, então
. Como o valor de
não foi restrito, vamos escolher
para simplificar. Assim,
.
Passo 5
Agora que temos um vetor direção para a reta
e sabemos que ela passa pelo ponto
, podemos montar as equações paramétricas da reta. Usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Isso resulta nas equações paramétricas:
Resposta
As equações paramétricas da reta
são:
onde
.