Em cada um dos itens abaixo, encontre equações paramétricas para a reta r.
(i) r passa pelo ponto P=(-3,6,0) e é perpendicular à reta de equação (x, y, z)=(-3,1,2)+ t(0,1,-2)(t in R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A questão nos pede para encontrar as equações paramétricas de uma reta (x, y, z) = (-3, 1, 2) + t(0, 1, -2), t in R que passa pelo ponto e é perpendicular a outra reta dada pela equação:
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a direção de uma reta perpendicular a outra e como montar as equações paramétricas usando um ponto e um vetor diretor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor direcionador da reta dada. Na equação , o vetor é o vetor que indica a direção da reta. Como queremos que a reta seja perpendicular a essa, precisamos que o vetor direção de seja perpendicular a .

Passo 3

Sabemos que dois vetores são perpendiculares se o produto interno (ou escalar) entre eles for zero. Então, se o vetor direção de u cdot v = a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot (-2) = 0 for b - 2c = 0 Rightarrow b = 2c , temos:
Isso simplifica para:
Isso nos diz que o vetor direção deve ter componentes que satisfaçam essa relação.

Passo 4

Escolhemos um valor para para determinar . Vamos escolher , então . Como o valor de não foi restrito, vamos escolher para simplificar. Assim, .

Passo 5

Agora que temos um vetor direção para a reta (x, y, z) = P + s cdot u, s in R e sabemos que ela passa pelo ponto (x, y, z) = (-3, 6, 0) + s(1, 2, 1) , podemos montar as equações paramétricas da reta. Usando a fórmula:
x = -3 + s
Substituindo os valores:
y = 6 + 2s
Isso resulta nas equações paramétricas:
z = 0 + s

Resposta

As equações paramétricas da reta x = -3 + s são:
y = 6 + 2s
z = s
onde .

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