Em cada um dos itens abaixo, encontre equações paramétricas para a reta .
(i) passa pelo ponto e é perpendicular à reta de equação .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A questão nos pede para encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e é perpendicular a outra reta dada pela equação:
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a direção de uma reta perpendicular a outra e como montar as equações paramétricas usando um ponto e um vetor diretor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor direcionador da reta dada. Na equação , o vetor é o vetor que indica a direção da reta. Como queremos que a reta seja perpendicular a essa, precisamos que o vetor direção de seja perpendicular a .
Passo 3
Sabemos que dois vetores são perpendiculares se o produto interno (ou escalar) entre eles for zero. Então, se o vetor direção de for , temos:
Isso simplifica para:
Isso nos diz que o vetor direção deve ter componentes que satisfaçam essa relação.
Passo 4
Escolhemos um valor para para determinar . Vamos escolher , então . Como o valor de não foi restrito, vamos escolher para simplificar. Assim, .
Passo 5
Agora que temos um vetor direção para a reta e sabemos que ela passa pelo ponto , podemos montar as equações paramétricas da reta. Usando a fórmula: