Assinale a alternativa que contenha ᶴᶴd ex²+y² dxdy sendo que D é a região compreendida entre as curvas x²+y² = 25 e x²+y² = 36.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral dupla do $ e^{x² + y²} $ sobre a região $ D
x² + y² = 25
x² + y² = 36 $). Vamos precisar usar cálculo em coordenadas polares para facilitar essa integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, $ x = r \cos(\theta) $ e $ y = r \sin(\theta) $. Isso transforma nossa função $ e^{x² + y²} $ em $ e^{r²} $, já que $ x² + y² = r² $.
Passo 3
Além disso, quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área $ dx , dy $ se transforma em $ r , dr , d\theta $. Isso significa que nossa integral dupla vai ter esse fator extra $ r $.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. A região $ D $ está entre os círculos de raio 5 e 6, então $ r $ varia de 5 a 6. Já o ângulo $ \theta $ completa um círculo completo, indo de 0 a $ 2\pi $.
Passo 5
Com tudo isso, podemos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
Resposta
A integral dupla em coordenadas polares é: