Assinale a alternativa que contenha ᶴᶴd ex²+y² dxdy sendo que D é a região compreendida entre as curvas x²+y² = 25 e x²+y² = 36.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral dupla do $ e^{x² + y²} $ sobre a região $ D e^x² + y² áí x² + y² = 25 D x² + y² = 36 $). Vamos precisar usar cálculo em coordenadas polares para facilitar essa integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, $ x = r \cos(\theta) $ e $ y = r \sin(\theta) $. Isso transforma nossa função $ e^{x² + y²} $ em $ e^{r²} $, já que $ x² + y² = r² $.

Passo 3

Além disso, quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área $ dx , dy $ se transforma em $ r , dr , d\theta $. Isso significa que nossa integral dupla vai ter esse fator extra $ r $.

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. A região $ D $ está entre os círculos de raio 5 e 6, então $ r $ varia de 5 a 6. Já o ângulo $ \theta $ completa um círculo completo, indo de 0 a $ 2\pi $.

Passo 5

Com tudo isso, podemos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
integral0^2pi integral5^6 e^r² cdot r , dr , dtheta ²

Resposta

A integral dupla em coordenadas polares é:
integral0^2pi integral5^6 e^r² , r , dr , dtheta ²

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