Assinale a lacuna com V se a afirmação é verdadeira e F se for falsa. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f'(x) existe e não é nula para nenhum valor de x, então f(1) != f(0).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função cuja derivada existe e nunca é zero para nenhum valor de . A afirmação é que, sob essas condições, é diferente de . Vamos usar conceitos de derivadas e comportamento das funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a derivada nunca ser zero. Quando a derivada de uma função está sempre positiva ou sempre negativa, isso indica que a função está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Em outras palavras, a função é monótona.

Passo 3

Se a função é monótona, ela é injetora, ou seja, nunca assume o mesmo valor duas vezes em pontos diferentes do domínio. Isso ocorre porque, se a função estivesse subindo ou descendo constantemente, não haveria “voltas” para repetir valores.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, como é monótona (já que nunca é zero), se tivermos dois pontos diferentes, como e , os valores correspondentes e também devem ser diferentes. Não pode haver repetição de valores em pontos distintos.

Resposta

V

Exercícios relacionados