Assinale a lacuna com
se a afirmação é verdadeira e
se for falsa. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
existe e não é nula para nenhum valor de
, então
.
Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
cuja derivada
existe e nunca é zero para nenhum valor de
. A afirmação é que, sob essas condições,
é diferente de
. Vamos usar conceitos de derivadas e comportamento das funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a derivada
nunca ser zero. Quando a derivada de uma função está sempre positiva ou sempre negativa, isso indica que a função está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Em outras palavras, a função é monótona.
Passo 3
Se a função é monótona, ela é injetora, ou seja, nunca assume o mesmo valor duas vezes em pontos diferentes do domínio. Isso ocorre porque, se a função estivesse subindo ou descendo constantemente, não haveria “voltas” para repetir valores.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, como
é monótona (já que
nunca é zero), se tivermos dois pontos diferentes, como
e
, os valores correspondentes
e
também devem ser diferentes. Não pode haver repetição de valores em pontos distintos.