Assinale a lacuna com
se a afirmação é verdadeira e
se for falsa. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
, então
tem um máximo ou um mínimo local em
Se
Passo 1
Vamos entender a questão. O enunciado está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e extremos locais (máximos e mínimos) de funções. Precisamos determinar se a afirmação "Se
, então
tem um máximo ou um mínimo local em
" é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos analisar o que significa a derivada ser igual a zero e suas implicações nos extremos da função.
Passo 2
Primeiro, lembramos que quando a derivada de uma função em um ponto é zero,
, esse ponto é chamado de ponto crítico. Pontos críticos são candidatos a serem máximos ou mínimos locais, mas não garantem isso por si só.
Passo 3
Vamos considerar um exemplo onde
, mas a função não possui um máximo ou mínimo local nesse ponto. Por exemplo, a função
tem
, mas não tem um máximo nem um mínimo local em
; em vez disso, há um ponto de inflexão.
Passo 4
Esse exemplo mostra que mesmo com a derivada igual a zero em um ponto, a função pode não ter um máximo ou mínimo local nesse ponto. Portanto, a afirmação geral não é verdadeira.
Resposta
F