Assinale a lacuna com V se a afirmação é verdadeira e F se for falsa. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f tiver um valor mínimo absoluto em c, então f'(c) = 0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz: "Se tiver um valor mínimo absoluto em , então ". Estamos lidando com cálculo, especificamente com derivadas e comportamento de funções em pontos mínimos. Para resolver, precisamos saber sobre derivadas e condições para pontos extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um valor mínimo absoluto. Uma função tem um mínimo absoluto em se, para todo no domínio de , . Isso significa que é o menor valor que alcança.

Passo 3

Agora, a derivada nos dá a inclinação da tangente à curva no ponto . Se tiver um mínimo absoluto em e for diferenciável nesse ponto, a inclinação da tangente deve ser zero, porque a curva para de descer e começa a subir. Portanto, .

Passo 4

No entanto, é importante notar que isso é válido apenas se for diferenciável em . Se a função não for diferenciável no ponto , a derivada não existe, e a afirmação não se aplica.

Resposta

. Se uma função tiver um valor mínimo absoluto em e for diferenciável nesse ponto, então a derivada é igual a zero porque a inclinação da tangente à curva nesse ponto é horizontal.

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