Assinale a lacuna com
se a afirmação é verdadeira e
se for falsa. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
tiver um valor mínimo absoluto em
, então
.
Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz: "Se
tiver um valor mínimo absoluto em
, então
". Estamos lidando com cálculo, especificamente com derivadas e comportamento de funções em pontos mínimos. Para resolver, precisamos saber sobre derivadas e condições para pontos extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um valor mínimo absoluto. Uma função
tem um mínimo absoluto em
se, para todo
no domínio de
,
. Isso significa que
é o menor valor que
alcança.
Passo 3
Agora, a derivada
nos dá a inclinação da tangente à curva no ponto
. Se
tiver um mínimo absoluto em
e for diferenciável nesse ponto, a inclinação da tangente deve ser zero, porque a curva para de descer e começa a subir. Portanto,
.
Passo 4
No entanto, é importante notar que isso é válido apenas se
for diferenciável em
. Se a função não for diferenciável no ponto
, a derivada não existe, e a afirmação não se aplica.