Esboce o gráfico das funções abaixo analisando: 1.Domínio, 2.Interseção com os eixos, 3.Simetria, 4. Assíntotas, 5.Pontos críticos, 6.Valores críticos, 7.Derivada segunda, concavidade e inflexão
c(x) = 1/(x^2 - 9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos analisar vários aspectos: domínio, interseções com os eixos, simetria, assíntotas, pontos críticos, valores críticos, derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão. Vamos precisar de conhecimentos de funções racionais, derivadas e análise de gráficos.

Passo 2

Domínio
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, a função é uma fração, e o denominador não pode ser zero. Então, vamos resolver:
Então, o domínio é todos os reais exceto e .

Passo 3

Interseção com os Eixos
Interseção com o eixo : Para encontrar onde a função cruza o eixo , colocamos :
Então, a interseção com o eixo é no ponto .
Interseção com o eixo : Para encontrar onde a função cruza o eixo , colocamos :
Essa equação nunca é verdadeira porque uma fração com numerador 1 nunca será zero. Portanto, não há interseção com o eixo .

Passo 4

Simetria
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou não possui simetria. Uma função é par se e ímpar se .
Calculando :
Como , a função é par. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo .

Passo 5

Assíntotas
Assíntotas Verticais: São valores de onde a função não está definida e tende ao infinito. Já vimos que e não estão no domínio, então essas são assíntotas verticais.
Assíntota Horizontal: Olhamos para o comportamento de quando vai para :
Então, há uma assíntota horizontal no eixo .

Passo 6

Pontos Críticos e Valores Críticos
Para encontrar os pontos críticos, precisamos da primeira derivada da função e encontrar onde ela é zero ou não está definida.
Primeira derivada de :
Igualando a zero:
Portanto, o único ponto crítico é .
Valor crítico:

Passo 7

Derivada Segunda, Concavidade e Ponto de Inflexão
Vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
Segunda derivada de :
Analisando o sinal de :
  • Para , o denominador é negativo, então é negativo. Isso indica que a curva é côncava para baixo.
  • Para , o denominador é positivo, então é positivo. Isso indica que a curva é côncava para cima.
Ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, em e . Entretanto, nesses pontos a função não está definida, então não há pontos de inflexão no domínio da função.

Resposta

O gráfico da função tem as seguintes características:
  • Domínio: Todos os reais exceto e .
  • Interseção com o eixo : , sem interseção com o eixo .
  • Simetria: Função par, simétrica em relação ao eixo .
  • Assíntotas: Verticais em e ; horizontal no eixo .
  • Ponto Crítico: com valor , que é um ponto de mínimo local.
  • Concavidade: Côncava para baixo quando e côncava para cima quando . Não há pontos de inflexão no domínio.
Com base nessas análises, o gráfico consiste em duas ramos hiperbólicos simétricos em relação ao eixo , cada um aproximando-se das assíntotas verticais e da horizontal conforme se afasta de zero.

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