Esboce o gráfico das funções abaixo analisando: 1.Domínio, 2.Interseção com os eixos, 3.Simetria, 4. Assíntotas, 5.Pontos críticos, 6.Valores críticos, 7.Derivada segunda, concavidade e inflexão
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos analisar vários aspectos: domínio, interseções com os eixos, simetria, assíntotas, pontos críticos, valores críticos, derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão. Vamos precisar de conhecimentos de funções racionais, derivadas e análise de gráficos.
Passo 2
Domínio
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, a função é uma fração, e o denominador não pode ser zero. Então, vamos resolver:
Então, o domínio é todos os reais exceto
e
.
Passo 3
Interseção com os Eixos
Interseção com o eixo
: Para encontrar onde a função cruza o eixo
, colocamos
:
Então, a interseção com o eixo
é no ponto
.
Interseção com o eixo
: Para encontrar onde a função cruza o eixo
, colocamos
:
Essa equação nunca é verdadeira porque uma fração com numerador 1 nunca será zero. Portanto, não há interseção com o eixo
.
Passo 4
Simetria
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou não possui simetria. Uma função é par se
e ímpar se
.
Calculando
:
Como
, a função é par. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 5
Assíntotas
Assíntotas Verticais: São valores de
onde a função não está definida e tende ao infinito. Já vimos que
e
não estão no domínio, então essas são assíntotas verticais.
Assíntota Horizontal: Olhamos para o comportamento de
quando
vai para
:
Então, há uma assíntota horizontal no eixo
.
Passo 6
Pontos Críticos e Valores Críticos
Para encontrar os pontos críticos, precisamos da primeira derivada da função e encontrar onde ela é zero ou não está definida.
Primeira derivada de
:
Igualando a zero:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Valor crítico:
Passo 7
Derivada Segunda, Concavidade e Ponto de Inflexão
Vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
Segunda derivada de
:
Analisando o sinal de
:
- Para
, o denominador é negativo, então é negativo. Isso indica que a curva é côncava para baixo. - Para
, o denominador é positivo, então é positivo. Isso indica que a curva é côncava para cima.
Ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, em
e
. Entretanto, nesses pontos a função não está definida, então não há pontos de inflexão no domínio da função.
Resposta
O gráfico da função
tem as seguintes características:
- Domínio: Todos os reais exceto
e . - Interseção com o eixo
: , sem interseção com o eixo . - Simetria: Função par, simétrica em relação ao eixo
. - Assíntotas: Verticais em
e ; horizontal no eixo . - Ponto Crítico:
com valor , que é um ponto de mínimo local. - Concavidade: Côncava para baixo quando
e côncava para cima quando . Não há pontos de inflexão no domínio.
Com base nessas análises, o gráfico consiste em duas ramos hiperbólicos simétricos em relação ao eixo
, cada um aproximando-se das assíntotas verticais e da horizontal conforme
se afasta de zero.