Assinale todas alternativas abaixo cujo conjunto com as operações indicadas são espaços vetoriais.
Escolha uma ou mais:
a. O conjunto dos pares ordenados de números reais com a operação padrão de soma e a operação multiplicação por um escalar dada por:
Escolha uma ou mais:
a. O conjunto dos pares ordenados de números reais com a operação padrão de soma e a operação multiplicação por um escalar dada por:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para identificar se o conjunto dos pares ordenados de números reais, com as operações de soma padrão e uma multiplicação por escalar específica, forma um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se as operações dadas cumprem os requisitos necessários.
Passo 2
Primeiro, o que é um espaço vetorial? Basicamente, é um conjunto onde podemos somar vetores e multiplicar por escalares, seguindo algumas regras chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que as operações sejam bem comportadas, como ter um elemento neutro, existir inversos, e a associatividade da soma, por exemplo.
Passo 3
Vamos analisar as operações dadas:
- Soma padrão: Para dois pares
e , a soma é . - Multiplicação por escalar: Dada por
.
Passo 4
Vamos verificar se essas operações cumprem os axiomas de um espaço vetorial.
- Fechamento na soma: A soma de dois pares ordenados reais resulta em outro par ordenado real. Isso está ok.
- Existência do elemento neutro: O elemento neutro para a soma seria
, que está no conjunto. Beleza! - Existência de inversos: Para cada par
, seu inverso seria , que também está no conjunto. - Associatividade da soma: A soma é associativa, isto é,
. - Comutatividade da soma: A ordem da soma não altera o resultado, ou seja,
. - Fechamento na multiplicação por escalar: Aqui começa um problema. Ao multiplicar
por qualquer escalar , o primeiro componente sempre vira 0, independentemente do valor de . Isso pode quebrar alguns axiomas. - Distribuição: A multiplicação por um escalar deve distribuir sobre a soma de vetores e sobre a soma de escalares, o que aqui não acontece devido ao primeiro componente sempre ser 0.
- Multiplicação por 1: Multiplicar por 1 deveria deixar o vetor inalterado, mas aqui
, o que altera o vetor original.
Passo 5
Como vimos, a multiplicação por escalar dada não preserva várias propriedades essenciais de um espaço vetorial, especialmente porque o primeiro componente sempre vira 0, o que não permite que o vetor seja mantido inalterado quando multiplicado por 1, entre outros problemas.
Resposta
A alternativa a não forma um espaço vetorial com as operações indicadas.