Assinale todas alternativas abaixo cujo conjunto com as operações indicadas são espaços vetoriais.
Escolha uma ou mais:
a. O conjunto dos pares ordenados de números reais com a operação padrão de soma e a operação multiplicação por um escalar dada por:
a(x, y)=(0, a y)

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para identificar se o conjunto dos pares ordenados de números reais, com as operações de soma padrão e uma multiplicação por escalar específica, forma um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se as operações dadas cumprem os requisitos necessários.

Passo 2

Primeiro, o que é um espaço vetorial? Basicamente, é um conjunto onde podemos somar vetores e multiplicar por escalares, seguindo algumas regras chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que as operações sejam bem comportadas, como ter um elemento neutro, existir inversos, e a associatividade da soma, por exemplo.

Passo 3

Vamos analisar as operações dadas:
  • Soma padrão: Para dois pares e , a soma é .
  • Multiplicação por escalar: Dada por .

Passo 4

Vamos verificar se essas operações cumprem os axiomas de um espaço vetorial.
  1. Fechamento na soma: A soma de dois pares ordenados reais resulta em outro par ordenado real. Isso está ok.
  2. Existência do elemento neutro: O elemento neutro para a soma seria , que está no conjunto. Beleza!
  3. Existência de inversos: Para cada par , seu inverso seria , que também está no conjunto.
  4. Associatividade da soma: A soma é associativa, isto é, .
  5. Comutatividade da soma: A ordem da soma não altera o resultado, ou seja, .
  6. Fechamento na multiplicação por escalar: Aqui começa um problema. Ao multiplicar por qualquer escalar , o primeiro componente sempre vira 0, independentemente do valor de . Isso pode quebrar alguns axiomas.
  7. Distribuição: A multiplicação por um escalar deve distribuir sobre a soma de vetores e sobre a soma de escalares, o que aqui não acontece devido ao primeiro componente sempre ser 0.
  8. Multiplicação por 1: Multiplicar por 1 deveria deixar o vetor inalterado, mas aqui , o que altera o vetor original.

Passo 5

Como vimos, a multiplicação por escalar dada não preserva várias propriedades essenciais de um espaço vetorial, especialmente porque o primeiro componente sempre vira 0, o que não permite que o vetor seja mantido inalterado quando multiplicado por 1, entre outros problemas.

Resposta

A alternativa a não forma um espaço vetorial com as operações indicadas.

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