(e) Assinale V para Verdadeiro e F para falso nas afirmativas abaixo
A função y(x, t)=sen k x cos omega t não obedece a equação de onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a afirmação: “A função não obedece à equação de onda.” O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e, mais especificamente, a equação de onda. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a equação de onda e verificar se a função dada satisfaz essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de onda. Em uma dimensão, ela é geralmente escrita como:
partial^2 ypartial t^2 = v^2 partial^2 ypartial x^2
onde é a velocidade da onda. Nosso objetivo é calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e e ver se essa igualdade é satisfeita.

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de y(x, t) = sin(kx) cos(omega t) em relação ao tempo partial ypartial t = -sin(kx) omega sin(omega t) :
partial^2 ypartial t^2 = -sin(kx) omega^2 cos(omega t) = -omega^2 y(x, t)
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial ypartial x = k cos(kx) cos(omega t) em relação a partial^2 ypartial x^2 = -k^2 sin(kx) cos(omega t) = -k^2 y(x, t) :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de onda:
partial^2 ypartial t^2 = v^2 partial^2 ypartial x^2
Substituindo:
-omega^2 y = v^2 (-k^2 y)
Simplificando:
-omega^2 = -v^2 k^2 implies omega^2 = v^2 k^2
Isso mostra que a função satisfaz a equação de onda se .

Resposta

A afirmativa é Falso.

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