Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
Passo 1
Vamos entender o enunciado. Nós temos uma expressão com valor absoluto: |x^2-x-2|. O que precisamos fazer é eliminar esse módulo utilizando o estudo de sinais. O conteúdo que estamos trabalhando aqui é sobre função módulo e como resolver expressões que incluem essa função. Para resolver, precisamos encontrar os pontos onde a expressão dentro do módulo é igual a zero, pois esses pontos vão nos ajudar a definir os intervalos onde a função pode mudar de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação x^2-x-2 = 0. Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é uma maneira de encontrar as raízes de equações quadráticas. A fórmula é:
x = -b pm raizb^2-4ac2a
No nosso caso, a = 1, b = -1 e c = -2. Vamos calcular o discriminante (b^2 - 4ac):
Agora que sabemos que o discriminante é 9, podemos encontrar as raízes:
x = -(-1) pm raiz92 cdot 1 = 1 pm 32
Isso nos dá duas soluções:
x1 = 42 = 2 e x2 = -22 = -1
Então, os pontos onde a expressão x^2-x-2 muda de sinal são x = -1 e x = 2.
Passo 3
Agora que encontramos as raízes, vamos usar esses pontos para dividir a reta numérica em intervalos: (-infty, -1), (-1, 2) e (2, infty). Em cada um desses intervalos, vamos determinar o sinal da expressão x^2-x-2.
Intervalo (-infty, -1): Vamos escolher, por exemplo, x = -2.