Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões: |x^2-x-2|

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Nós temos uma expressão com valor absoluto: |x^2-x-2|. O que precisamos fazer é eliminar esse módulo utilizando o estudo de sinais. O conteúdo que estamos trabalhando aqui é sobre função módulo e como resolver expressões que incluem essa função. Para resolver, precisamos encontrar os pontos onde a expressão dentro do módulo é igual a zero, pois esses pontos vão nos ajudar a definir os intervalos onde a função pode mudar de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação x^2-x-2 = 0. Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é uma maneira de encontrar as raízes de equações quadráticas. A fórmula é:
x = -b pm raizb^2-4ac2a
No nosso caso, a = 1, b = -1 e c = -2. Vamos calcular o discriminante ( b^2 - 4ac):
b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2) = 1 + 8 = 9
Agora que sabemos que o discriminante é 9, podemos encontrar as raízes:
x = -(-1) pm raiz92 cdot 1 = 1 pm 32
Isso nos dá duas soluções:
x1 = 42 = 2 e x2 = -22 = -1
Então, os pontos onde a expressão x^2-x-2 muda de sinal são x = -1 e x = 2.

Passo 3

Agora que encontramos as raízes, vamos usar esses pontos para dividir a reta numérica em intervalos: (-infty, -1), (-1, 2) e (2, infty). Em cada um desses intervalos, vamos determinar o sinal da expressão x^2-x-2.
  1. Intervalo (-infty, -1): Vamos escolher, por exemplo, x = -2.
    (-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 > 0
    Portanto, nesse intervalo, a expressão é positiva.
  2. Intervalo (-1, 2): Agora vamos escolher x = 0.
    0^2 - 0 - 2 = -2 < 0
    Nesse intervalo, a expressão é negativa.
  3. Intervalo (2, infty): Vamos escolher x = 3.
    3^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0
    Nesse intervalo, a expressão é positiva.
Então, resumindo os sinais:
  • Para x < -1, x^2-x-2 > 0 implies |x^2-x-2| = x^2-x-2.
  • Para -1 < x < 2, x^2-x-2 < 0 implies |x^2-x-2| = -(x^2-x-2) = -x^2+x+2.
  • Para x > 2, x^2-x-2 > 0 implies |x^2-x-2| = x^2-x-2.

Resposta

Portanto, as expressões sem o módulo são:
  • Para x < -1: |x^2-x-2| = x^2-x-2.
  • Para -1 < x < 2: |x^2-x-2| = -x^2+x+2.
  • Para x > 2: |x^2-x-2| = x^2-x-2.

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