Assuma que o índice de massa corporal é uma variável com distribuição normal de média 22,5 kg / m^2 e desvio padrão 1,25 kg / m^2. Um adulto é considerado com baixo peso se o IMC é menor a 20 kg / m^2 e é considerado com sobrepeso se o IMC é maior que 25. IMCs entre 20 e 25 caracterizam um adulto eutrófico. Calcular a probabilidade de um adulto ser considerado:
(a) com baixo peso;
(b) eutrófico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que calcular a probabilidade de um adulto ter baixo peso (IMC < 20 kg/m²) e ser eutrófico (IMC entre 20 e 25 kg/m²). Sabemos que o IMC segue uma distribuição normal com média mu = 22,5, kg/m^2 e desvio padrão sigma = 1,25, kg/m^2.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar a distribuição normal. Essa distribuição é útil para modelar variáveis contínuas que tendem a se agrupar em torno de uma média. As probabilidades ajudam a entender a frequência com que certos valores ocorrem.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a): calcular a probabilidade de um adulto ter baixo peso (IMC < 20 kg/m²).

Passo 4

Primeiro, vamos padronizar o valor do IMC usando a fórmula do z-score:
z = X - musigma
Onde:
  • X = 20, kg/m^2
  • mu = 22,5, kg/m^2
  • sigma = 1,25, kg/m^2

Passo 5

Substituindo os valores:
z = 20 - 22,51,25 = -2,51,25 = -2

Passo 6

Agora, vamos encontrar a probabilidade correspondente a z = -2 usando uma tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora. A probabilidade de Z < -2 é aproximadamente 2,28%.

Passo 7

Então, a probabilidade de um adulto ter baixo peso é de 2,28%.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b): calcular a probabilidade de um adulto ser eutrófico (20 kg/m² ≤ IMC ≤ 25 kg/m²).

Passo 9

Primeiro, calculamos os z-scores para os dois valores limite: 20 kg/m² e 25 kg/m².
Para X = 20, kg/m^2:
z1 = 20 - 22,51,25 = -2
Para X = 25, kg/m^2:
z2 = 25 - 22,51,25 = 2

Passo 10

Agora, encontramos as probabilidades correspondentes a z1 = -2 e z2 = 2.
  • P(Z < 2) approx 97,72%
  • P(Z < -2) approx 2,28%

Passo 11

Para encontrar a probabilidade de estar entre esses dois valores, subtraímos:
P(-2 <= Z <= 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2) = 97,72% - 2,28% = 95,44%

Resposta

(a) A probabilidade de um adulto ter baixo peso é de 2,28%.
(b) A probabilidade de um adulto ser eutrófico é de 95,44%.

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