Seja X uma variável aleatória Normal com média 10 e desvio-padrão 2, determine o valor de x em cada caso: P(x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média e desvio-padrão . A missão aqui é encontrar o valor de tal que a probabilidade de estar entre e seja , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com a distribuição Normal e usar o conceito de escores Z.

Passo 2

Primeiro, vamos padronizar a variável Z = X - musigma usando o escore Z. O escore Z nos ajuda a transformar qualquer valor da distribuição Normal em uma escala padrão com média 0 e desvio-padrão 1. A fórmula para isso é:
Aqui, e .

Passo 3

Queremos encontrar P(x - 102 < Z < 10 - 102) = P(z < Z < 0) = 0,2 tal que P(z < Z < 0) = 0,2 . Vamos reescrever essa probabilidade em termos de Z:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, sabemos que na distribuição Normal padrão. Então, se , significa que .
Vamos procurar na tabela da distribuição Normal o valor de Z que corresponde a uma probabilidade acumulada de . Esse valor é aproximadamente .

Passo 5

Agora que temos o valor de x = mu + z times sigma , vamos voltar à nossa fórmula original para encontrar x = 10 + (-0,5244) times 2 = 10 - 1,0488 = 8,9512 :
Substituindo os valores:

Resposta

O valor de é aproximadamente 8,95.

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