Seja X uma variável aleatória Normal com média 10 e desvio-padrão 2, determine o valor de x em cada caso:
(a) P(X>x)=0,5
(b) P(X>x)=0,95
© P(x
(d) P(-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média e desvio-padrão . A Normal é aquela famosa “curva de sino” que a gente vê muito em estatística. Vamos precisar usar a tabela da distribuição Normal padrão (ou usar uma calculadora que faça isso) para achar os valores de em cada caso pedido.

Passo 2

Parte (a) x = mu = 10

Primeiro, queremos encontrar o valor de tal que a probabilidade de ser maior que é 50%. Sabemos que na distribuição Normal, 50% das observações ficam abaixo da média e 50% acima. Como a média é 10, então:

Passo 3

Parte (b) Z = invNorm(0,05) approx -1,645

Aqui, queremos achar x = mu + Z cdot sigma onde a probabilidade de x = 10 + (-1,645) cdot 2 ser maior que x = 10 - 3,29 é 95%. Isso significa que 95% das observações estão acima de x approx 6,71 e apenas 5% estão abaixo. Vamos padronizar essa probabilidade usando a distribuição Normal padrão.
Primeiro, encontramos o valor correspondente a 5% na tabela Z (porque estamos procurando o ponto onde 5% está à esquerda):
Agora, usamos a fórmula de padronização:

Passo 4

Parte © Z approx -0,524

Queremos encontrar x = mu + Z cdot sigma tal que a probabilidade de x = 10 + (-0,524) cdot 2 estar entre x = 10 - 1,048 e 10 é 20%. Como 10 é a média, sabemos que a área total à esquerda de 10 é 50%. Então, a área entre x approx 8,95 e 10 é 20%, o que significa que a área à esquerda de é 30%.
Vamos encontrar o valor de correspondente a 0,30 na tabela Normal:
Agora, usamos a fórmula de padronização:

Passo 5

Parte (d) Z = xsigma

Essa parte está um pouco mais complicada, mas vamos por partes. Queremos que a probabilidade de 2,576 = x2 estar entre x = 2,576 times 2 e x approx 5,152 seja 99%. Isso é equivalente a dizer que está entre e .
Primeiro, reconhecemos que 99% da área está dentro de certos valores em uma distribuição Normal. Esse intervalo corresponde a aproximadamente .
Agora, relacionamos com :

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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